PDF-версии: 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 
Решение. а) Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, разложим на множители:
Приравняем к нулю первый множитель
Второй множитель равен нулю, если 
Покажем три способа решения уравнений такого вида, два из которых даны в примечании. Перейдём к синусу и косинусу половинного аргумента с использованием основного тригонометрического тождества:
б) Мы ищем корни, расположенные в четвертой, первой четвертях и первой половине второй четверти единичной окружности. В четвертой четверти расположен единственный корень 
который получается из серии корней 
при 
Все корни серии 
расположены в третьей четверти, следовательно, ни один корень данной серии не «попадает» в заданный промежуток.
Рассмотрим серию корней 
Покажем, что корень 
расположен в первой четверти. Заметим: 
так как 
А это значит, что 
Тогда 
Значит, 
— искомый корень.
Докажем, что из серии корней 
корней, принадлежащих заданному отрезку, получить нельзя. Для этого достаточно показать, что при любом 
корни этой серии будут расположены в третьей четверти единичной окружности.
Действительно, 
Тогда
##
Ответ: а) 
б) 
Примечание.
Укажем ещё два способа решения уравнения
Способ 2. Введение вспомогательного аргумента. Уравнение перепишем так: 
Оно имеет вид: 
Разделим обе части уравнения на 
т. е. на 
Получим: 
Введем вспомогательный аргумент: 
Так как 
то в качестве 
можно взять 
Обратим внимание на то, что «внешний вид» множества корней уравнения 
полученных разными способами, отличаются друг от друга. Однако, корни на самом деле тождественно совпадают. В этом можно убедиться, вычислив их значения при 
Для этого можно использовать самый примитивный способ, известный учащимся из курса геометрии основной общеобразовательной школы (9 класс), переходя к угловому аргументу и используя четырехзначные математические таблицы. Найдем градусные меры углов поворота из серии корней 
и 
при
Теперь найдем градусные меры углов поворота из серий корней 
при 
Как видим, полученные результаты совпали с точностью до одной минуты.
Способ 3. Применение универсальной тригонометрической подстановки. Известно, что синус, косинус, тангенс, котангенс аргумента x можно выразить через тангенс половинного аргумента:
Применим этот метод для решения уравнения Получим:
Для удобства обозначим 
переменной 
Тогда будем иметь:
Мы пришли к такому же уравнению относительно как и при первом способе.
Применение метода универсальной подстановки может привести к потере решений из-за перехода к тангенсу половинного аргумента, который не имеет смысла при 
т. е. при 
Говоря по-другому, такая потеря решений возможна, если числа вида 
являются корнями исходного уравнения, но они потеряны из-за замены выражений 
выражениями, содержащими тангенс половинного аргумента в соответствии с формулами (**), приведенными выше. Если действительно произошла такая потеря, то потерянные решения восстанавливают. Для этого достаточно проверить, не являются ли числа вида 
корнями исходного уравнения.
В нашем случае такая замена применена к уравнению Сделаем проверку. Если 
то 
значит, должно выполняться равенство -2+1=0. Так как равенство оказалось неверным, то потери решений при использовании универсальной тригонометрической подстановки не произошло.
Замечания.
1. При решении уравнения 
методом введения дополнительного аргумента надо учесть, что метод применим только в том случае, если выполняется условие 
То, что 
свидетельствует о том, что уравнение решений не имеет.
2. Доказательство формул 
трудности не представляет:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б) 
и углом А, равным 
На ребрах AB, B1C1 и CD взяты точки E, F и G так, что AE = BE, B1F = FC1 и DG = 3GC. Найдите косинус угла между плоскостями EFG и ABC, если высота призмы равна 4,5.
равнобедренный, 
то 
Значит, 
или
Тогда
— равносторонний (так как все углы по 
), то есть EM = ED = MD = x. Так как в прямоугольном треугольнике CED против угла в 30° лежит катет, в 2 раза меньший гипотенузы, то CD = 2x. Получили, что так как DM = x, точка M является серединой гипотенузы CD, то есть EM — медиана ΔCED. Что и требовалось доказать.
Тогда по теореме Пифагора из ΔADE получаем:
то с учетом найденных ограничений получаем 
Приведем его к стандартному виду квадратного уравнения относительно х.
).
отрицательный, но равный или меньший 
Для этого необходимо и достаточно, чтобы было выполнено условие:
и 
получим: 
для любого 
Найти:
немедленно приводит к противоречию: 
Кроме того, 
(в противном случае 
). Отсюда следует, что 
для всех 
Поэтому 
А поскольку 
то 
для всех k от 81 до 162. В частности, 
Поскольку 
то 
для всех k от 243 до 486. В частности, 
а значит, 
