СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д5 C1 № 505688

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение.

а) Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, разложим на множители:

Приравняем к нулю первый множитель

Второй множитель равен нулю, если Покажем три способа решения уравнений такого вида, два из которых даны в примечании. Перейдём к синусу и косинусу половинного аргумента с использованием основного тригонометрического тождества:

 

 

б) Мы ищем корни, расположенные в четвертой, первой четвертях и первой половине второй четверти единичной окружности. В четвертой четверти расположен единственный корень который получается из серии корней при

Все корни серии расположены в третьей четверти, следовательно, ни один корень данной серии не «попадает» в заданный промежуток.

Рассмотрим серию корней Покажем, что корень расположен в первой четверти. Заметим: так как А это значит, что Тогда Значит, — искомый корень.

Докажем, что из серии корней корней, принадлежащих заданному отрезку, получить нельзя. Для этого достаточно показать, что при любом корни этой серии будут расположены в третьей четверти единичной окружности.

Действительно, Тогда

##

Ответ: а) б)

 

Примечание.

Укажем ещё два способа решения уравнения

Способ 2. Введение вспомогательного аргумента. Уравнение перепишем так: Оно имеет вид:

Разделим обе части уравнения на т. е. на Получим: Введем вспомогательный аргумент: Так как то в качестве можно взять

 

Обратим внимание на то, что «внешний вид» множества корней уравнения полученных разными способами, отличаются друг от друга. Однако, корни на самом деле тождественно совпадают. В этом можно убедиться, вычислив их значения при

Для этого можно использовать самый примитивный способ, известный учащимся из курса геометрии основной общеобразовательной школы (9 класс), переходя к угловому аргументу и используя четырехзначные математические таблицы. Найдем градусные меры углов поворота из серии корней и при

 

Теперь найдем градусные меры углов поворота из серий корней при

 

 

 

Как видим, полученные результаты совпали с точностью до одной минуты.

 

Способ 3. Применение универсальной тригонометрической подстановки. Известно, что синус, косинус, тангенс, котангенс аргумента можно выразить через тангенс половинного аргумента:

Применим этот метод для решения уравнения Получим:

Для удобства обозначим переменной Тогда будем иметь:

Мы пришли к такому же уравнению относительно как и при первом способе.

Применение метода универсальной подстановки может привести к потере решений из-за перехода к тангенсу половинного аргумента, который не имеет смысла при т. е. при Говоря по-другому, такая потеря решений возможна, если числа вида являются корнями исходного уравнения, но они потеряны из-за замены выражений выражениями, содержащими тангенс половинного аргумента в соответствии с формулами (**), приведенными выше. Если действительно произошла такая потеря, то потерянные решения восстанавливают. Для этого достаточно проверить, не являются ли числа вида корнями исходного уравнения.

В нашем случае такая замена применена к уравнению Сделаем проверку. Если то значит, должно выполняться равенство -2+1=0. Так как равенство оказалось неверным, то потери решений при использовании универсальной тригонометрической подстановки не произошло.

 

Замечания.

1. При решении уравнения методом введения дополнительного аргумента надо учесть, что метод применим только в том случае, если выполняется условие То, что свидетельствует о том, что уравнение решений не имеет.

2. Доказательство формул трудности не представляет:

 

 

 

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 56.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус
Методы алгебры: Введение вспомогательного угла, Формулы половинного аргумента