Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д5 C1 № 505658

а) Решите уравнение 8 синус x умножить на {{ косинус } в степени 3 }x минус 2 синус 2x минус 2{{ косинус } в степени 2 }x плюс 1=0.

б) Найдите все корни на промежутке  левая квадратная скобка минус дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 2 ; минус 2 правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

a) Решим уравнение:

8 синус x умножить на {{ косинус } в степени 3 }x минус 2 синус 2x минус 2{{ косинус } в степени 2 }x плюс 1=0 равносильно

 

 равносильно (2 умножить на 4 синус x умножить на косинус x умножить на {{ косинус } в степени 2 }x минус 2{{ косинус } в степени 2 }x) минус (2 синус 2x минус 1)=0 равносильно

 

 равносильно 2{{ косинус } в степени 2 }x умножить на (2 синус 2x минус 1) минус (2 синус 2x минус 1)=0 равносильно (2 синус 2x минус 1) умножить на (2{{ косинус } в степени 2 }x минус 1)=0 равносильно

 

 равносильно совокупность выражений  новая строка синус 2x= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ,  новая строка косинус x=\pm дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из { 2 } конец совокупности . равносильно совокупность выражений  новая строка 2x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 плюс 2 Пи n,  новая строка 2x= дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 6 плюс 2 Пи n,  новая строка x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс дробь, числитель — Пи n, знаменатель — 2 ,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно совокупность выражений  новая строка x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 12 плюс Пи n,  новая строка x= дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 12 плюс Пи n,  новая строка x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс дробь, числитель — Пи n, знаменатель — 2 ,n принадлежит Z . конец совокупности .

б) Выборка корней.

{{x}_{1}}= минус дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 2 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 = минус дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 4 ; {{x}_{2}}= минус Пи плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 12 = минус дробь, числитель — 11 Пи , знаменатель — 12 ; {{x}_{3}}= минус Пи плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 = минус дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 4 .

Покажем, что  минус Пи плюс дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 12 = минус дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 12 больше минус 2.

Действительно,  минус дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 12 больше минус 2 равносильно 7 Пи меньше 24:

7 Пи меньше 7 умножить на 3,2 равносильно 7 Пи меньше 7 умножить на 3,2=22,4, 22,4 меньше 24.

 

Ответ: а)  дробь, числитель — Пи , знаменатель — 12 плюс Пи n,n принадлежит Z ;  дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 12 плюс Пи n,n принадлежит Z ;  дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 n,n принадлежит Z .

б)  минус дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 4 ;  минус дробь, числитель — 11 Пи , знаменатель — 12 ;  минус дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 4 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б.

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 505658: 505808 506008 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 51.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Методы алгебры: Группировка, Формулы двойного угла