Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В тре­уголь­ни­ке KLM угол L тупой, а сто­ро­на KM равна 6. Центр O окруж­но­сти, про­хо­дя­щей через вер­ши­ны K, M и точку пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка KLM лежит на окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка KLM.

а)  До­ка­жи­те, что угол KOM равен 120°.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка KLM.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Углы KOM и KLM равны, так как они опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу KM в окруж­но­сти \Theta_2. Обо­зна­чим угол KLM как альфа . Углы KLM и CLB равны, как вер­ти­каль­ные, то есть \angle CLB = альфа . Так как впи­сан­ный угол KAM и цен­траль­ный угол KOM опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу KM в окруж­но­сти \Theta_1, то \angle KAM = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle KOM = дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . В че­ты­рех­уголь­ни­ке ACLB углы ACL и ABL равны по 90 гра­ду­сов, по­это­му

\angle CAB плюс \angle CLB = 180 гра­ду­сов\Rightarrow дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс альфа = 180 гра­ду­сов

рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 3 альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 180 гра­ду­сов рав­но­силь­но альфа = 120 гра­ду­сов.

Зна­чит, \angle KLM = \angle KOM = 120 гра­ду­сов. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 

 

б)  По тео­ре­ме си­ну­сов по­лу­ча­ем:

дробь: чис­ли­тель: KM, зна­ме­на­тель: синус \angle KLM конец дроби = 2R\RightarrowR = дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби = 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ:R = 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 51
Методы геометрии: Тео­ре­ма си­ну­сов, Углы в окруж­но­стях {центр., впис., опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти, Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки, Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг тре­уголь­ни­ка
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025