Ре­ше­ние. a)  

Пусть Тогда

В таком слу­чае за­дан­ное урав­не­ние при­мет вид: решим дан­ное урав­не­ние:

Те­перь пе­рей­дем к пе­ре­мен­ной

Урав­не­ние ре­ше­ний не имеет. В про­тив­ном слу­чае синус и ко­си­нус од­но­го и того же ар­гу­мен­та обя­за­ны рав­нять­ся еди­ни­це, что не­воз­мож­но.

б)   Отберём корни. Из серии

При при

Из серии

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ко­ну­са. В нем по­лу­чит­ся тра­пе­ция ABCD, в ко­то­рую впи­са­на окруж­ность. Про­ве­дем вы­со­ты BG и CH из точек B и C. Тогда

кроме того из опи­сан­но­сти

по­это­му

Ра­ди­ус окруж­но­сти (он же ра­ди­ус впи­сан­ной в конус сферы) равен Тогда пло­щадь сферы со­став­ля­ет

До­стро­им те­перь усе­чен­ный конус до ко­ну­са. Тра­пе­ция при этом до­стро­ит­ся до тре­уголь­ни­ка, он будет пря­мо­уголь­ный и рав­но­бед­рен­ный, по­это­му его ка­те­ты со­ста­вят Это об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са. Из нее

По­это­му пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти усе­чен­но­го ко­ну­са будет

По­это­му ис­ко­мое от­но­ше­ние равно 2.

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пер­вое не­ра­вен­ство от­дель­но на каж­дом из про­ме­жут­ков так как в точ­ках и пер­вое и вто­рое под­мо­дуль­ные вы­ра­же­ния со­от­вет­ствен­но об­ра­ща­ют­ся в нуль.

Пусть Тогда не­ра­вен­ство при­мет вид:

На рас­смат­ри­ва­е­мом про­ме­жут­ке по­лу­чим часть ис­ко­мых ре­ше­ний:

Пусть Тогда не­ра­вен­ство при­мет вид: На рас­смат­ри­ва­е­мом про­ме­жут­ке по­лу­чим дру­гую часть ис­ко­мых ре­ше­ний:

Пусть те­перь Тогда не­ра­вен­ство при­мет вид:

На рас­смат­ри­ва­е­мом про­ме­жут­ке по­лу­чим тре­тью часть ис­ко­мых ре­ше­ний:

Те­перь же объ­еди­нив все про­ме­жу­точ­ные ре­зуль­та­ты, по­лу­чим ре­ше­ния пер­во­го не­ра­вен­ства за­дан­ной си­сте­мы:

Решим вто­рое не­ра­вен­ство за­дан­ной си­сте­мы на про­ме­жут­ке

По­сколь­ку при то на этом мно­же­стве Далее имеем:

Ре­ше­ния ис­ход­ной си­сте­мы есть мно­же­ство

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  По свой­ству бис­сек­три­сы по­лу­чим:

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC:

Оста­лось по тео­ре­ме ко­си­ну­сов найти CD из тре­уголь­ни­ка BCD:

Таким об­ра­зом, CD = BC = 2. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка по фор­му­ле Ге­ро­на:

Ответ:

При­ме­ча­ние: в дан­ной за­да­че по­лу­чи­лось, что ADC рав­но­бед­рен­ный, от­ку­да от­ку­да

Ре­ше­ние. Пе­рей­дем к рав­но­силь­ной си­сте­ме:

Вве­дем де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат xOp. Изоб­ра­зим мно­же­ство точек плос­ко­сти, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых удо­вле­тво­ря­ют со­от­но­ше­ни­ям и (рис. 1). Для этого по­стро­им гра­фик урав­не­ния   — па­ра­бо­лу. Эта па­ра­бо­ла делит плос­кость на две об­ла­сти. Со­от­но­ше­нию удо­вле­тво­ря­ют ко­ор­ди­на­ты всех точек той об­ла­сти, ко­то­рая со­дер­жит точку (1; 0), так как Далее, по­стро­им гра­фик урав­не­ния   — пря­мую, ко­то­рая раз­би­ва­ет плос­кость на две по­лу­плос­ко­сти. Со­от­но­ше­нию будут удо­вле­тво­рять все точки по­лу­плос­ко­сти, в ко­то­рой лежит точка (0; 0), по­сколь­ку Вы­де­лим общие точки (пе­ре­се­че­ние) най­ден­ных об­ла­стей (см. рис. 1).

Ана­ло­гич­но най­дем пе­ре­се­че­ние об­ла­стей, со­сто­я­щих из всех точек плос­ко­сти, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых удо­вле­тво­ря­ют со­от­но­ше­ни­ям и (см. рис. 2).

Объ­еди­няя ре­зуль­та­ты, по­лу­чен­ные выше, най­дем об­ласть, со­сто­я­щую из всех точек, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых удо­вле­тво­ря­ют со­от­но­ше­нию Од­но­вре­мен­но ис­клю­чим из по­лу­чен­ных ре­зуль­та­тов по­ло­су, за­да­ва­е­мую не­ра­вен­ством т. е. со­от­но­ше­ни­ем (см. рис. 3).

Най­дем ко­ор­ди­на­ты точек пе­ре­се­че­ния па­ра­бо­лы и пря­мой :

Ор­ди­на­ты точек пе­ре­се­че­ния пря­мых и пря­мых и суть 3 и 1 со­от­вет­ствен­но.

Из по­лу­чен­ных выше ре­зуль­та­тов под­ле­жат ис­клю­че­нию все точки, при­над­ле­жа­щие кри­во­ли­ней­ной фи­гу­ре, огра­ни­чен­ной слева пря­мой спра­ва  — пря­мой свер­ху  — пря­мой снизу  — па­ра­бо­лой все гра­нич­ные точки не вклю­че­ны. Каж­дая точка, при­над­ле­жа­щая ука­зан­ной фи­гу­ре, имеет ор­ди­на­ту, при­над­ле­жа­щую ин­тер­ва­лу (0; 3). Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мые зна­че­ния па­ра­мет­ра p за­пол­нят весь про­ме­жу­ток

Ответ:

Ре­ше­ние. Решим сразу пункт б).

Рас­по­ло­жим m шо­ко­ла­док одну за дру­гой в одну линию и раз­ре­жем по­лу­чив­шу­ю­ся шо­ко­лад­ную по­ло­су рав­но­мер­но на n рав­ных ча­стей. Будем счи­тать, что длина шо­ко­лад­ки равна Каж­дый школь­ник дол­жен по­лу­чить пор­цию длины Если то длина пор­ции будет не мень­ше Сле­до­ва­тель­но, по каж­дой шо­ко­лад­ке пройдёт не более од­но­го раз­ре­за.

Пусть где d  — де­ли­тель В этом слу­чае длина пор­ции равна При опи­сан­ном спо­со­бе раз­де­ла каж­дая шо­ко­лад­ка де­лит­ся на части длины, крат­ной d, зна­чит, рас­сто­я­ние от линии раз­ре­за до края шо­ко­лад­ки не мень­ше Два раз­ре­за, про­хо­дя­щие по одной шо­ко­лад­ке, вы­ре­за­ли бы из неё часть, не боль­шую что мень­ше пор­ции. Зна­чит, каж­дая шо­ко­лад­ка ока­жет­ся раз­ре­зан­ной не более од­но­го раза.

До­ка­жем, что дру­гих пар нет. Пусть и уда­лось раз­де­лить шо­ко­лад­ки с со­блю­де­ни­ем усло­вий. До­ка­жем, что длины всех ку­соч­ков, а сле­до­ва­тель­но, и m крат­ны Пусть это не так. Рас­смот­рим кусок наи­мень­шей длины r, не крат­ной Тогда есть кусок длины Тот, кто его по­лу­чил, также по­лу­чил кусок длины, не боль­шей не крат­ный Про­ти­во­ре­чие. Зна­чит, m крат­но Те­перь ясно, какой ответ в пунк­тах а) и б).

а)  при n  =  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18.

б)  при или при