Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д8 C1 № 505652

а) Решите уравнение 1 минус синус 2x= минус левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка .

б) Найдите все корни на промежутке  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

a) 1 минус синус 2x= минус левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка равносильно 1 минус синус 2x плюс левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка =0.

Пусть  синус x плюс косинус x=t. Тогда

 синус в квадрате x плюс 2 синус x умножить на косинус x плюс косинус в квадрате x=t в квадрате равносильно 1 плюс синус 2x=t в квадрате равносильно синус 2x=t в квадрате минус 1.

В таком случае заданное уравнение примет вид: 1 минус t в квадрате плюс 1 плюс t=0, решим данное уравнение:

1 минус t в квадрате плюс 1 плюс t=0 равносильно t в квадрате минус t минус 2=0 равносильно совокупность выражений  новая строка t= минус 1,  новая строка t=2 конец совокупности .

Теперь перейдем к переменной x:

 синус x плюс косинус x= минус 1 равносильно синус x плюс косинус x плюс 1=0 равносильно 2 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 косинус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби =0 равносильно

 

 равносильно 2 косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений  новая строка косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби =0,  новая строка синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = минус косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби  конец совокупности . равносильно

 

 равносильно совокупность выражений  новая строка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z ,  новая строка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z  конец совокупности . равносильно совокупность выражений  новая строка x= Пи плюс 2 Пи n,n принадлежит Z ,  новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .  конец совокупности .

Уравнение  синус x плюс косинус x=2 решений не имеет. В противном случае синус и косинус одного и того же аргумента обязаны равняться единице, что невозможно.

б)  Отберём корни. Из серии  Пи плюс 2 Пи n,n принадлежит Z :

 минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно Пи плюс 2 Пи n меньше или равно Пи равносильно минус 3 меньше или равно 2 плюс 4n меньше или равно 2 равносильно минус 5 меньше или равно 4n меньше или равно 0 равносильно минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно n меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений  новая строка n= минус 1,  новая строка n=0.  конец совокупности .

При n= минус 1 x_1= Пи минус 2 Пи = минус Пи ; при n=0 x_2= Пи .

Из серии  минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z :

 минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n меньше или равно Пи равносильно минус 3 меньше или равно минус 1 плюс 4n меньше или равно 2 равносильно минус 2 меньше или равно 4n меньше или равно 3 равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно n меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби равносильно n=0.

x_3= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

 

Ответ: а)  Пи плюс 2 Пи n,n принадлежит Z ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z . б)  минус Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б.

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 50.
Спрятать решение · ·
Нина Иванова 06.01.2015 20:28

Пропал минус, перед удво­ен­ным произведением, при рас­кры­тии двойного угла.

Александр Иванов

Нина, будьте внимательней. Это не "раскрытие двойного угла", а квадрат суммы.

t в квадрате = левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка в квадрате = синус в квадрате x плюс 2 синус x умножить на косинус x плюс косинус в квадрате x= 1 плюс синус 2x ,

откуда

 синус 2x=t в квадрате минус 1.

Гость 19.03.2016 13:57

Почему при решении через тангенс половинного угла теряется часть решений?

Служба поддержки

Потому, что так и должно быть.