Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Ре­ши­те урав­не­ние 1 минус синус 2x= минус левая круг­лая скоб­ка синус x плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Най­ди­те все корни на про­ме­жут­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

a)  1 минус синус 2x= минус левая круг­лая скоб­ка синус x плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 1 минус синус 2x плюс левая круг­лая скоб­ка синус x плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

Пусть синус x плюс ко­си­нус x=t. Тогда

синус в квад­ра­те x плюс 2 синус x умно­жить на ко­си­нус x плюс ко­си­нус в квад­ра­те x=t в квад­ра­те рав­но­силь­но 1 плюс синус 2x=t в квад­ра­те рав­но­силь­но синус 2x=t в квад­ра­те минус 1.

В таком слу­чае за­дан­ное урав­не­ние при­мет вид: 1 минус t в квад­ра­те плюс 1 плюс t=0, решим дан­ное урав­не­ние:

1 минус t в квад­ра­те плюс 1 плюс t=0 рав­но­силь­но t в квад­ра­те минус t минус 2=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка t= минус 1, новая стро­ка t=2 конец со­во­куп­но­сти .

Те­перь пе­рей­дем к пе­ре­мен­ной x:

синус x плюс ко­си­нус x= минус 1 рав­но­силь­но синус x плюс ко­си­нус x плюс 1=0 рав­но­силь­но 2 синус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но 2 ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка синус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =0, новая стро­ка синус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = минус ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z , новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x= Пи плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z , новая стро­ка x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z . конец со­во­куп­но­сти .

Урав­не­ние синус x плюс ко­си­нус x=2 ре­ше­ний не имеет. В про­тив­ном слу­чае синус и ко­си­нус од­но­го и того же ар­гу­мен­та обя­за­ны рав­нять­ся еди­ни­це, что не­воз­мож­но.

б)   Отберём корни. Из серии Пи плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z :

минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно Пи плюс 2 Пи n мень­ше или равно Пи рав­но­силь­но минус 3 мень­ше или равно 2 плюс 4n мень­ше или равно 2 рав­но­силь­но минус 5 мень­ше или равно 4n мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно n мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка n= минус 1, новая стро­ка n=0. конец со­во­куп­но­сти .

При n= минус 1 x_1= Пи минус 2 Пи = минус Пи ; при n=0 x_2= Пи .

Из серии минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z :

минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n мень­ше или равно Пи рав­но­силь­но минус 3 мень­ше или равно минус 1 плюс 4n мень­ше или равно 2 рав­но­силь­но минус 2 мень­ше или равно 4n мень­ше или равно 3 рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно n мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но n=0.

x_3= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ: а) Пи плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z ; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z . б) минус Пи ; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; Пи .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 50
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, сво­ди­мые к целым на синус или ко­си­нус
Методы алгебры: За­ме­на  — сумма или раз­ность, Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы суммы и раз­но­сти функ­ций
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Скрыть комментарии · Помощь
Нина Иванова 06.01.2015 20:28

Про­пал минус, перед удво­ен­ным про­из­ве­де­ни­ем, при рас­кры­тии двой­но­го угла.

Александр Иванов

Нина, будь­те вни­ма­тель­ней. Это не "рас­кры­тие двой­но­го угла", а квад­рат суммы.

t в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка синус x плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = синус в квад­ра­те x плюс 2 синус x умно­жить на ко­си­нус x плюс ко­си­нус в квад­ра­те x= 1 плюс синус 2x ,

от­ку­да

синус 2x=t в квад­ра­те минус 1.

Евгения Бордачева 19.03.2016 13:57

По­че­му при ре­ше­нии через тан­генс по­ло­вин­но­го угла те­ря­ет­ся часть ре­ше­ний?

Служба поддержки

По­то­му, что так и долж­но быть.



О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025