Ре­ше­ние. Всего в ла­ге­ре 310 + 28  =  338 чел. Раз­де­лим 338 на 40:

Зна­чит, чтобы пе­ре­вез­ти всех из ла­ге­ря в город, по­на­до­бит­ся 9 ав­то­бу­сов.

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. В 12 фун­тах со­дер­жит­ся 12 · 400  =  4800 грам­мов или 4,8 ки­ло­грам­ма.

Ответ: 4,8.

Ре­ше­ние. Из гра­фи­ка видно, что наи­боль­шая сред­не­су­точ­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в пе­ри­од с 7 по 24 ап­ре­ля со­став­ля­ла 11 °C.

Ответ: 11.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим все ва­ри­ан­ты.

При по­куп­ке в ма­га­зи­не А цена трид­ца­ти пу­те­во­ди­те­лей со­ста­вит 7650 руб., с до­став­кой  — 8000 руб.

При по­куп­ке в ма­га­зи­не Б цена трид­ца­ти пу­те­во­ди­те­лей со­ста­вит 8100 руб., до­став­ка будет бес­плат­ной.

При по­куп­ке в ма­га­зи­не В цена трид­ца­ти пу­те­во­ди­те­лей со­ста­вит 7350 руб., с до­став­кой  — 7800 руб.

Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шая сто­и­мость по­куп­ки с учётом до­став­ки со­став­ля­ет 7800 руб.

Ответ: 7800.

При­ме­ча­ние.

Вни­ма­тель­ный чи­та­тель за­ме­тит, что если ку­пить в ма­га­зи­не В не 30, а 31 пу­те­во­ди­тель, то их сто­и­мость будет 7595 руб., причём до­став­ка ока­жет­ся бес­плат­ной. Тем самым, это наи­бо­лее дешёвый ва­ри­ант.

Ре­ше­ние.

Сред­няя линия тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не той сто­ро­ны, ко­то­рой она па­рал­лель­на. Длина сто­ро­ны АВ равна 5, по­это­му ис­ко­мая длина сред­ней линии равна 2,5.

Ответ: 2,5.

Ре­ше­ние. В пер­вом туре Иван Котов может сыг­рать с 49 − 1  =  48 шах­ма­ти­ста­ми, из ко­то­рых 7 − 1  =  6 из Рос­сии. Зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Иван Котов будет иг­рать с каким-либо шах­ма­ти­стом из Рос­сии, равна

Ответ: 0,125.

----------

За­да­ние не­кор­рект­но: в тур­ни­ре долж­но участ­во­вать чет­ное число шах­ма­ти­стов.

Ре­ше­ние. Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ответ: −3.

Ре­ше­ние. Сумма про­ти­во­по­лож­ных углов впи­сан­но­го в окруж­ность четырёхуголь­ни­ка равна 180°, по­это­му за­дан­ные углы  — смеж­ные. Боль­ший из остав­ших­ся углов даёт в сумме с мень­шим из за­дан­ных 180°, по­это­му он равен 180° − 41°  =  139°.

Ответ: 139.

Ре­ше­ние. Если про­из­вод­ная в не­ко­то­рой точке равна нулю, а в ее окрест­но­сти ме­ня­ет знак с ми­ну­са на плюс, то это точка ми­ни­му­ма. На от­рез­ке [−2; 4] гра­фик про­из­вод­ной пе­ре­се­ка­ет ось абс­цисс в точке 3 и в этой точке про­из­вод­ная ме­ня­ет знак с ми­ну­са на плюс. Сле­до­ва­тель­но, точка 3 яв­ля­ет­ся точ­кой ми­ни­му­ма на дан­ном от­рез­ке. Дру­гих точек экс­тре­му­ма на дан­ном от­рез­ке нет, зна­чит, в точке 3 функ­ция при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние на дан­ном от­рез­ке

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Пло­ща­ди по­верх­но­стей шаров от­но­сят­ся как квад­ра­ты их ра­ди­у­сов, по­это­му:

Ответ: 64.

Ре­ше­ние. Ис­поль­зу­ем фор­му­лу ко­си­ну­са двой­но­го угла

Ответ: −6.

Ре­ше­ние. Вы­ра­зим уско­ре­ние из фор­му­лы для ско­ро­сти и найдём его:

Ответ: 7200.

Ре­ше­ние. Диа­го­наль куба в раз боль­ше его ребра, по­это­му, по­это­му ребро равно

Тогда объем куба 

Ответ: 64.

Ре­ше­ние. Пусть масса пер­во­го рас­тво­ра кг, а масса вто­ро­го − кг. Тогда мас­со­вое со­дер­жа­ние соли в пер­вом и вто­ром рас­тво­рах и со­от­вет­ствен­но. Из этих двух рас­тво­ров по­лу­чи­ли тре­тий рас­твор мас­сой 200 кг, со­дер­жа­щий 25% соли. По­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний:

Таким об­ра­зом, масса пер­во­го рас­тво­ра мень­ше массы вто­ро­го на 100 ки­ло­грам­мов.

Ответ: 100.

Ре­ше­ние. Об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции

За­ме­тим, что

Най­дем про­из­вод­ную этой функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма

Ответ: −3,25.

Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное урав­не­ние, ис­поль­зуя фор­му­лы и :

б)  На от­рез­ке лежат корни и (см. рис.).

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что по­это­му по тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка LAE имеем: Тогда пло­щадь рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ELD равна:

Ответ:

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 505450.

Ре­ше­ние. Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Ис­ко­мое ре­ше­ние  — от­ре­зок

Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы на мно­же­стве ре­ше­ний вто­ро­го не­ра­вен­ства. На от­рез­ке от­рез­ке не­ра­вен­ство опре­де­ле­но, и его знак сов­па­да­ет со зна­ком про­из­ве­де­ния По­сколь­ку на ука­зан­ном от­рез­ке чис­ли­тель и зна­ме­на­тель пер­вой дроби по­ло­жи­тель­ны, по­лу­ча­ем: от­ку­да или Тем самым, мно­же­ство ре­ше­ний си­сте­мы:

Ответ:

При­ведём ав­тор­ское ре­ше­ние.

Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Зна­че­ния x, при ко­то­рых опре­де­ле­но пер­вое не­ра­вен­ство: и Рас­смот­рим два слу­чая.

Пер­вый слу­чай: По­лу­ча­ем, что Тогда

Вто­рой слу­чай: По­лу­ча­ем, что сле­до­ва­тель­но, при пер­вое не­ра­вен­ство ис­ход­ной си­сте­мы верно.

Ре­ше­ние пер­во­го не­ра­вен­ства ис­ход­ной си­сте­мы:

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Ре­ше­ние вто­ро­го не­ра­вен­ства си­сте­мы:

Пе­ре­се­кая по­лу­чен­ные мно­же­ства ре­ше­ний, на­хо­дим ре­ше­ние ис­ход­ной си­сте­мы не­ра­венств:

При­ме­ча­ние.

Ука­жем ещё один спо­соб ре­шить пер­вое не­ра­вен­ство. За­ме­тим, что об­ласть его опре­де­ле­ния  — мно­же­ство На этом мно­же­стве ос­но­ва­ние и ар­гу­мент мно­жи­те­ля оба боль­ше 1, по­это­му он по­ло­жи­те­лен. Тогда остаётся ре­шить не­ра­вен­ство что на ОДЗ даёт от­ку­да и окон­ча­тель­но с учётом ОДЗ: Учи­ты­вая мно­же­ство ре­ше­ний вто­ро­го не­ра­вен­ства, по­лу­чим

Ре­ше­ние.

а)  По­сколь­ку AA₁  — пер­пен­ди­ку­ляр к ВС, а BB₁  — пер­пен­ди­ку­ляр к AС (см. рис.), углы AHB₁ и ACB равны как углы со вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми.

б)  Сто­ро­на тре­уголь­ни­ка, ве­ли­чи­на про­ти­во­ле­жа­ще­го ей угла и от­ре­зок вы­со­ты, про­ведённой из вер­ши­ны этого угла в точку пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка, свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем:

Ответ:

При­ведём ав­тор­ское ре­ше­ние.

а)  В четырёхуголь­ни­ке углы и   — пря­мые, сле­до­ва­тель­но, около этого четырёхуголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность, причём AH  — её диа­метр. Впи­сан­ные углы и опи­ра­ют­ся на одну дугу, сле­до­ва­тель­но,

Углы и   — пря­мые, зна­чит, точки и лежат на окруж­но­сти с диа­мет­ром Сле­до­ва­тель­но,

По­лу­ча­ем, что

б)  В тре­уголь­ни­ке диа­метр опи­сан­ной окруж­но­сти от­ку­да

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке имеем:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке имеем:

По­лу­ча­ем, что Тре­уголь­ни­ки ABC и имеют общий угол A и сле­до­ва­тель­но, они по­доб­ны. Тогда Зна­чит,

При­ведём ре­ше­ние Егора Ва­ля­е­ва из Аль­ме­тьев­ска.

а)  Рас­смот­рим тре­уголь­ник B₁AH. Пусть угол AHB₁ равен α, тогда ∠HAB₁  =  90° − α. Опу­стим из точки A вы­со­ту AA₁ на сто­ро­ну BC. Рас­смот­рим тре­уголь­ник AA₁C, в ко­то­ром ∠A₁CA  =  180° − ∠AA₁C − ∠A₁AC (углы HAB₁ и A₁AC равны и ∠A₁AC  =  90° − α). Вы­чис­лим угол A₁CA  =  180° − 90° − (90° − α)  =  α, сле­до­ва­тель­но, ∠ACB = ∠A₁CA  =  α = ∠AHB₁.

б)  Рас­смот­рим тре­уголь­ник B₁AB, в нем ∠BAB₁  =  30°, от­ку­да по­лу­ча­ем:

а зна­чит, и от­ку­да

Рас­смот­рим те­перь тре­уголь­ник AHB₁ и за­ме­тим, что

На­ко­нец, рас­смот­рим тре­уголь­ник B₁BC: в нем Так как из пунк­та а) из­вест­но, что углы BCB₁, ACB и AHB₁ равны, имеем:

Тогда

Ре­ше­ние. Пусть тогда, ис­поль­зуя тео­ре­му, об­рат­ную тео­ре­ме Виета, по­лу­чим:

Зна­чит, ис­ход­ное урав­не­ние имеет два раз­лич­ных корня тогда и толь­ко тогда, когда гра­фик функ­ции имеет с го­ри­зон­таль­ны­ми пря­мы­ми и ровно две общие точки. Эти пря­мые сов­па­да­ют, если

При урав­не­ние не имеет ре­ше­ний. Если то при а если то при имеем:

При не­огра­ни­чен­ном уве­ли­че­нии x зна­че­ния функ­ции стре­мят­ся к нулю, причём, для функ­ция f яв­ля­ет­ся воз­рас­та­ю­щей, а при   — убы­ва­ю­щей. Эс­ки­зы гра­фи­ков изоб­ра­же­ны на ри­сун­ке.

Таким об­ра­зом, при долж­ны быть вы­пол­не­ны не­ра­вен­ства от­ку­да при долж­ны быть вы­пол­не­ны не­ра­вен­ства от­ку­да

Ответ:

При­ведём ав­тор­ское ре­ше­ние.

Пусть тогда по­лу­чим:

Зна­чит, ре­ше­ние ис­ход­но­го урав­не­ния  — это ре­ше­ние урав­не­ний или

Ис­сле­ду­ем сколь­ко ре­ше­ний имеет урав­не­ние в за­ви­си­мо­сти от a и При и и то есть при левая часть опре­де­ле­на и при­ни­ма­ет вид

При вы­ра­же­ние при­ни­ма­ет по од­но­му все зна­че­ния из про­ме­жут­ка для и при­ни­ма­ет по од­но­му разу все зна­че­ния из про­ме­жут­ка для Зна­чит, при вы­ра­же­ние при­ни­ма­ет по од­но­му разу все зна­че­ния из про­ме­жут­ка при и при­ни­ма­ет по од­но­му разу все зна­че­ния из про­ме­жут­ка при Таким об­ра­зом, урав­не­ние имеет одно ре­ше­ние при и не имеет ре­ше­ний при и При и урав­не­ние при­ни­ма­ет вид и либо имеет бес­ко­неч­но много ре­ше­ний, либо не имеет ре­ше­ний.

Урав­не­ние и могут иметь общие ре­ше­ния при то есть при При оба урав­не­ния при­ни­ма­ют вид и имеют одно ре­ше­ние.

При дру­гих зна­че­ни­ях a ис­ход­ное урав­не­ние имеет два ре­ше­ния, если оба урав­не­ния имеют по од­но­му ре­ше­нию. По­лу­ча­ем си­сте­му не­ра­венств:

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно два ре­ше­ния при a при­над­ле­жа­щем мно­же­ству

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим рей­тинг ки­но­филь­ма, вы­чис­лен­ный по ста­рой си­сте­ме оце­ни­ва­ния, через A, а рей­тинг ки­но­филь­ма, вы­чис­лен­ный по новой си­сте­ме через B.

а)  За­ме­тим, что где m и n  — не­ко­то­рые на­ту­раль­ные числа. Зна­чит,

Если то что не­воз­мож­но. Таким об­ра­зом, раз­ность рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам не может рав­нять­ся

б)  На­при­мер, для оце­нок экс­пер­тов 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9 раз­ность рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния равна

в)  Пусть x  — наи­мень­шая из оце­нок, z  — наи­боль­шая, а y  — сумма осталь­ных пяти оце­нок. Тогда

Для оце­нок экс­пер­тов 0, 1, 2, 3, 4, 5, 12 раз­ность равна Зна­чит, наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние раз­но­сти рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, равно

Ответ: а) нет; б) да; в)

---------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 505427.