Ре­ше­ние. а)  Решим урав­не­ние:

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти (см. рис). Под­хо­дят:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть бо­ко­вое ребро пи­ра­ми­ды равно b, тогда и Таким об­ра­зом, сле­до­ва­тель­но, точка P  — се­ре­ди­на от­рез­ка BQ.

б)  Из точки P в плос­ко­сти SCB вос­ста­но­вим к пря­мой SB пер­пен­ди­ку­ляр PR, ко­то­рый па­рал­ле­лен от­рез­ку CQ. Тогда, R  — се­ре­ди­на BC, а угол APR  — ли­ней­ный угол ис­ко­мо­го угла. Сле­до­ва­тель­но,

Тогда

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Зна­ме­на­тель дроби не при­ни­ма­ет от­ри­ца­тель­ных зна­че­ний, по­это­му на об­ла­сти опре­де­ле­ния урав­не­ния чис­ли­тель дол­жен быть не­от­ри­ца­те­лен:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть на­чаль­ная сумма кре­ди­та равна 8S тыс. руб. За­пол­ним таб­ли­цу:

Год	Долг на фев­раль	Вы­пла­та	Долг на конец года
2020 (1)
2021 (2)
2022 (3)
2023 (4)
2024 (5)
2025 (6)			0

Пер­вая вы­пла­та боль­ше по­след­ней на 8000 руб­лей, тогда

Зна­чит, кре­дит был взят на сумму 320 000 руб­лей.

Ответ: 320 000 руб­лей.

Ре­ше­ние. а)  Про­ве­дем QG  — ка­са­тель­ную к окруж­но­сти и EF  — диа­метр, про­хо­дя­щий через точку P. Тогда по тео­ре­мам о про­пор­ци­о­наль­ных от­рез­ках в круге по­лу­ча­ем:

и

Скла­ды­вая эти два ра­вен­ства, по­лу­ча­ем тре­бу­е­мое.

б)  Пусть Тогда, по тео­ре­ме о внеш­нем угле, Далее, по тео­ре­ме си­ну­сов и По­де­лив одно ра­вен­ство на дру­гое? по­лу­чим:

От­сю­да

Зна­чит,

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Ло­га­рифм об­ра­ща­ет­ся в нуль, если его ар­гу­мент равен еди­ни­це. Раз­ло­жим на мно­жи­те­ли под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние:

Сле­до­ва­тель­но, под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние об­ра­ща­ет­ся в нуль при или при

Про­из­ве­де­ние равно нулю, если какой-то из мно­жи­те­лей равен нулю, а осталь­ные при этом су­ще­ству­ют. По­лу­ча­ем:

Ко­рень при­над­ле­жит от­рез­ку [0; 2] при ко­рень при­над­ле­жит от­рез­ку [0; 2] при Ко­рень сов­па­да­ет с кор­нем при ко­рень сов­па­да­ет с кор­нем при ко­рень сов­па­да­ет с кор­нем при

Таким об­ра­зом, урав­не­ние имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке [0; 2] при или

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Под­хо­дит, на­при­мер, 238, по­сколь­ку

б)  По­сколь­ку при со­кра­ще­нии дроби и в чис­ли­те­ле и в зна­ме­на­те­ле оста­ют­ся де­ли­те­ли из­на­чаль­но­го числа и про­из­ве­де­ния его цифр, число долж­но было де­лить­ся на 125. Если при этом оно было чет­ным, то за­кан­чи­ва­лось на 0, по­это­му его про­из­ве­де­ние цифр было нулем, что не­воз­мож­но. Про­ве­ряя числа 125, 375, 625, 875, видим, что ни у од­но­го из них про­из­ве­де­ние цифр не крат­но 24.

в)  Если дробь не­со­кра­ти­ма, в чис­ли­те­ле долж­но сто­ять число с про­из­ве­де­ни­ем цифр 24, при этом не крат­ное 2 и 3. Де­вят­ки и се­мер­ки среди его цифр точно нет, если есть вось­мер­ка, то осталь­ные цифры  — 3 и 1, что дает чис­ли­тель, крат­ный  3. Если же мак­си­маль­ная из цифр ше­стер­ка, то осталь­ные либо 2 и 2 (тогда число четно), либо 4 и 1. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем

Если же дробь со­кра­ти­ма, то ее чис­ли­тель после со­кра­ще­ния не пре­вос­хо­дит по­это­му такие дроби точно не дадут мак­си­маль­ный ре­зуль­тат.

Ответ: а)  238; б)  нет; в)