Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Внут­ри ци­лин­дра рас­по­ло­жен куб ABCDA1B1C1D1 так, что все его вер­ши­ны лежат на по­верх­но­сти ци­лин­дра, причём вер­ши­ны B и D1 сов­па­да­ют с цен­тра­ми ос­но­ва­ний, а осталь­ные вер­ши­ны лежат на бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость AB1C па­рал­лель­на ос­но­ва­ни­ям ци­лин­дра.

б)  Най­ди­те объём ци­лин­дра, если ребро куба равно 3.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­ме­тим, что BD1  — ось ци­лин­дра, BD  — про­ек­ция BD1 на плос­кость ABCD, при этом пря­мые BD и AC пер­пен­ди­ку­ляр­ны, сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах, пря­мые BD1 и AC пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Ана­ло­гич­но пря­мые BD1 и AB1 пер­пен­ди­ку­ляр­ны, пря­мые BD1 и CB1 пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Таким об­ра­зом, пря­мая  BD1 пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти  AB1C, сле­до­ва­тель­но, плос­кость AB1C па­рал­лель­на ос­но­ва­ни­ям ци­лин­дра.

б)  Из п. а) сле­ду­ет, что ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка AB1C равен ра­ди­у­су ос­но­ва­ния ци­лин­дра, кроме того, вы­со­та ци­лин­дра равна BD1. Имеем:

BD_1=AB ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та =3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ,\quad\quad AC=AB_1=CB_1=AB ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та =3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Тогда

R_AB_1C= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби h_AB_1C= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на AC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та ,

V= Пи R в квад­ра­те умно­жить на BD_1=18 Пи ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Ответ: б) 18 Пи ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 390
Методы геометрии: Тео­ре­ма о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах
Классификатор стереометрии: Ком­би­на­ции мно­го­гран­ни­ков с ци­лин­дром и ко­ну­сом, Объём ци­лин­дра, ко­ну­са, шара, Па­рал­лель­ность плос­ко­стей
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026