ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д12 C3 № 626506 Добавить в вариант

Решите неравенство: $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 4x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 7 минус x правая круглая скобка , знаменатель: косинус левая круглая скобка Пи плюс x правая круглая скобка конец дроби \geqslant0.$

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем неравенство, перейдя к логарифмам по основанию 2, и воспользуемся методом рационализации,

$дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 4x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 7 минус x правая круглая скобка , знаменатель: косинус левая круглая скобка Пи плюс x правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 7 минус x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4x правая круглая скобка умножить на косинус левая круглая скобка Пи плюс x правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$ $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 4x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 7 минус x правая круглая скобка , знаменатель: косинус левая круглая скобка Пи плюс x правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 7 минус x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4x правая круглая скобка умножить на косинус левая круглая скобка Пи плюс x правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$

$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 4x минус 5 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 7 минус x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 3 минус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 1 правая круглая скобка умножить на косинус левая круглая скобка Пи плюс x правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0, дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше x меньше логарифм по основанию 2 7 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 7 минус 1 минус x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка умножить на косинус левая круглая скобка Пи плюс x правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0, дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше x меньше логарифм по основанию 2 7. конец системы .$ $равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 4x минус 5 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 7 минус x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 3 минус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 1 правая круглая скобка умножить на косинус левая круглая скобка Пи плюс x правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0, дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше x меньше логарифм по основанию 2 7 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 7 минус 1 минус x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка умножить на косинус левая круглая скобка Пи плюс x правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0, дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше x меньше логарифм по основанию 2 7. конец системы .$

Заметим, что при $дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше x меньше логарифм по основанию 2 7$ функция $y= косинус левая круглая скобка Пи плюс x правая круглая скобка$ является возрастающей, тогда

$система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 7 минус 1 минус x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка умножить на косинус левая круглая скобка Пи плюс x правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0, дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше x меньше логарифм по основанию 2 7 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 7 минус 1 минус x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка косинус левая круглая скобка Пи плюс x правая круглая скобка минус косинус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0, дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше x меньше логарифм по основанию 2 7. конец системы . равносильно$ $система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 7 минус 1 минус x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка умножить на косинус левая круглая скобка Пи плюс x правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0, дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше x меньше логарифм по основанию 2 7 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 7 минус 1 минус x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка косинус левая круглая скобка Пи плюс x правая круглая скобка минус косинус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0, дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше x меньше логарифм по основанию 2 7. конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 7 минус 1 минус x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка Пи плюс x минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0, дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше x меньше логарифм по основанию 2 7. конец системы . равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше x меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше или равно логарифм по основанию 2 7 минус 1,2 меньше x меньше логарифм по основанию 2 7. конец совокупности .$

Выше мы использовали следующую оценку:

$дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше логарифм по основанию 2 7 минус 1 равносильно Пи меньше 2 логарифм по основанию 2 7 минус 2 равносильно Пи плюс 2 меньше логарифм по основанию 2 49 равносильно логарифм по основанию 2 2 в степени левая круглая скобка Пи плюс 2 правая круглая скобка меньше логарифм по основанию 2 49 равносильно 2 в степени левая круглая скобка Пи плюс 2 правая круглая скобка меньше 49,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше логарифм по основанию 2 7 минус 1 равносильно Пи меньше 2 логарифм по основанию 2 7 минус 2 равносильно Пи плюс 2 меньше логарифм по основанию 2 49 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 2 в степени левая круглая скобка Пи плюс 2 правая круглая скобка меньше логарифм по основанию 2 49 равносильно 2 в степени левая круглая скобка Пи плюс 2 правая круглая скобка меньше 49,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше логарифм по основанию 2 7 минус 1 равносильно Пи меньше 2 логарифм по основанию 2 7 минус 2 равносильно$
$равносильно Пи плюс 2 меньше логарифм по основанию 2 49 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 2 в степени левая круглая скобка Пи плюс 2 правая круглая скобка меньше логарифм по основанию 2 49 равносильно 2 в степени левая круглая скобка Пи плюс 2 правая круглая скобка меньше 49,$

в свою очередь, верную в силу оценки

$2 в степени левая круглая скобка Пи плюс 2 правая круглая скобка меньше 2 в степени левая круглая скобка 5,5 правая круглая скобка =32 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента меньше 32 умножить на 1,5 = 48 меньше 49.$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; логарифм по основанию 2 7 минус 1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2; логарифм по основанию 2 7 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 381

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа, Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции, Тригонометрические неравенства

Методы алгебры: Использование основного логарифмического тождества, Использование симметрий, оценок, монотонности, Метод интервалов, Рационализация неравенств. Логарифмы

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь