PDF-версии: 1. Тип 13 № 626504 
Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения, Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа
Методы алгебры: Формулы двойного угла
Уравнения. Тригонометрия и логарифмы
i
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Заметим, что
При этом условии исходное уравнение равносильно следующим:
б) Отберём корни при помощи единичной окружности. Подходит 
Ответ: а) 
б)
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 626504
а) б)
б) Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения, Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа
Методы алгебры: Формулы двойного угла
функция 
является возрастающей, тогда
Значит, угол AHB тоже равен 90°. Поэтому угол четырехугольника с вершиной H — прямой. Аналогично остальные углы этого четырехугольника прямые. Что и требовалось доказать. 
Тогда и вторая диагональ прямоугольника равна a − b. Прямые GH и EF параллельны сторонам ABCD, поэтому угол между ними равен α. Тогда площадь прямоугольника равна 
Из условия получаем равенство: 
Упрощая, получаем равенство 
откуда a = 3b.
уравнение не имеет смысла. При 
правую часть уравнения можно записать в виде
и 
и 
тогда:
числа a, b и c — целые, 
и уравнение имеет корни, причем все корни являются целыми числами. Найдите все возможные значения корней.
имеет два целых корня, то их произведение равно 
Значит, это 1 и 3 или −1 и −3. Тогда 
имеет целые корни 
и 
(возможно, равные). По теореме Виета, 
откуда
Значит, 
или 
Оба варианта возможны, примерами являются уравнения 
и 
Заметим, что при четном x — 
кратно 4, а при нечетном x — 
кратно 4 как произведение двух четных чисел. Значит, 
дают остатки 0 или 1 при делении на 4, при этом их сумма кратна 4. Значит, на самом деле все они дают остатки 0, и поэтому a, b, c четны. Пусть 
Тогда 
и 
отличаются просто умножением на 2 и потому имеют одни и те же корни.
кратно 16, а если два или ни одного, то 
откуда 
Аналогичные неравенства верны для B и C. Из чисел 
для получения суммы 98 обязательно надо взять 81 (иначе сумма не превысит 
), после чего набрать сумму 17 остальными двумя числами можно только как 1 + 16. Итак, числа A, B, C это 
в каком-то порядке.
поэтому 
Поменяв, если нужно, все знаки у коэффициентов (от этого корни не меняются), можем считать, что A = 1. Кроме того, если сменить знак у B, оба корня лишь сменят знак, поэтому можно считать, что B > 0. Тогда уравнение имеет вид 
или 
Переберем случаи:
не имеет корней;
дает корни 
или 
а также наоборот корни 
и 
для уравнения 
откуда 
а также наоборот корни 
для уравнения 
не имеет целых корней.
б) 
или 
в)