В параллелограмме ABCD проведены биссектрисы всех внутренних углов. Четырехугольник, образованный точками пересечения этих биссектрис, имеет площадь, равную двум третям площади параллелограмма ABCD.
а) Докажите, что четырехугольник, образованный точками пересечения биссектрис всех внутренних углов параллелограмма ABCD, является прямоугольником.
б) Найдите отношение длин большей и меньшей сторон параллелограмма ABCD.
а) Пусть биссектрисы углов параллелограмма пересекаются в точках F, G, E и H. По свойству параллелограмма сумма углов A и B равна 180°. Тогда сумма углов HAB и HBA равна 
Значит, угол AHB тоже равен 90°. Поэтому угол четырехугольника с вершиной H — прямой. Аналогично остальные углы этого четырехугольника прямые. Что и требовалось доказать.
б) Пусть стороны параллелограмма ABCD равны a и b (a > b). Угол между ними равен α. Пусть прямая FG пересекает сторону AD в точке K. Угол DKC равен углу ACB и углу ACD. Тогда треугольник KDC равнобедренный (по двум равным углам), значит, KD = DC. Точки G и H лежат на пересечении биссектрис углов C, D и A, B соответственно. Значит, обе они равноудалены от прямых AD и BC. Поэтому прямые GH и AK параллельны. Прямые AH и KG параллельны как биссектрисы противоположных углов параллелограмма. Значит, GHAK параллелограмм и 
Тогда и вторая диагональ прямоугольника равна a − b. Прямые GH и EF параллельны сторонам ABCD, поэтому угол между ними равен α. Тогда площадь прямоугольника равна 
Из условия получаем равенство: 
Упрощая, получаем равенство 
откуда a = 3b.
Ответ: б) 3 : 1.