Ре­ше­ние.

а)  Ис­ход­ное урав­не­ние рав­но­силь­но си­сте­ме:

б)  Отберём корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти. Под­хо­дят

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть A₁, B₁, D₁, E₁ и F₁  — точки пе­ре­се­че­ния ука­зан­но­го се­че­ния с рёбрами SA, SB, SD, SE и SF со­от­вет­ствен­но. За­ме­тим, что пря­мые A₁E₁ и AE па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, плос­кость се­че­ния па­рал­лель­на пря­мым AE и BD, тогда пря­мые B₁D₁ и BD также па­рал­лель­ны.

Рас­смот­рим се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью SCF. Оно пе­ре­се­ка­ет­ся с плос­ко­стью CA₁F₁ по пря­мой CF₁, с плос­ко­стью SAE по пря­мой SK, с плос­ко­стью SBD по пря­мой SL. Пусть K₁ и L₁  — точки пе­ре­се­че­ния SK и SL с пря­мой CF₁ со­от­вет­ствен­но. При­ме­ним тео­ре­му Ме­не­лая к тре­уголь­ни­ку SKL и пря­мой CF₁:

б)  При­ме­ним тео­ре­му Ме­не­лая к тре­уголь­ни­ку SFL и пря­мой CF₁:

от­ку­да

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пусть тогда

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть x лет пер­вый из но­мер­ных зна­ков стоял спе­ре­ди, а вто­рой  — сзади, а y лет  — на­о­бо­рот. Сто­я­щий спе­ре­ди знак за каж­дый год из­на­ши­ва­ет­ся на одну ше­стую, а сто­я­щий сзади  — на одну две­на­дца­тую от пер­во­на­чаль­но­го со­сто­я­ния. Тогда для пер­во­го но­мер­но­го знака спра­вед­ли­во не­ра­вен­ство а для вто­ро­го  — не­ра­вен­ство Сло­жив эти не­ра­вен­ства, по­лу­чим

Зна­чит, мак­си­маль­ный срок, ко­то­рый может про­слу­жить один ком­плект из двух но­мер­ных зна­ков, не пре­вы­ша­ет 8 лет.

Этот срок до­сти­га­ет­ся при то есть каж­дый из зна­ков дол­жен про­сто­ять спе­ре­ди и сзади по 4 года. Для этого, на­при­мер, через 4 года экс­плу­а­та­ции знаки надо по­ме­нять ме­ста­ми. В этом слу­чае оба пер­во­на­чаль­ных не­ра­вен­ства об­ра­ща­ют­ся в ра­вен­ства:

Ответ: 8.

При­ве­дем ариф­ме­ти­че­ское ре­ше­ние.

Еже­год­но два знака из­на­ши­ва­ют­ся на ре­сур­са од­но­го знака. Зна­чит, за 4 года они пол­но­стью вы­ра­бо­та­ют ре­сурс од­но­го знака, а за 8 лет пол­но­стью вы­ра­бо­та­ют свой ре­сурс двух зна­ков. Сле­до­ва­тель­но, боль­ше 8 лет знаки про­слу­жить не могут.

По­ка­жем, как ста­вить знаки, чтобы они про­слу­жи­ли 8 лет. Стоя впе­ре­ди, знак из­на­ши­ва­ет­ся в два раза быст­рее, чем стоя сзади. По­это­му если знак, из­на­чаль­но сто­я­щий спе­ре­ди, через 4 года пе­ре­ста­вить назад, он вме­сто оста­вав­ших­ся ему двух лет про­слу­жит 4 года, а всего 8 лет. В то же время сто­я­щий из­на­чаль­но сзади знак, бу­дучи пе­ре­став­лен­ным через 4 года впе­ред, про­слу­жит уже не 8, а лишь 4 года, а всего вме­сте тоже 8 лет. Итак, если через 4 года после на­ча­ла экс­плу­а­та­ции по­ме­нять знаки ме­ста­ми, они про­слу­жат 8 лет. (Можно ме­нять ме­ста­ми знаки еже­год­но или еже­ме­сяч­но  — важно лишь, чтобы в общей слож­но­сти каж­дый из зна­ков про­вел спе­ре­ди в два раза боль­ше вре­ме­ни, чем сзади.)

Ре­ше­ние. а)  Пусть LM  — сред­няя линия тра­пе­ции, h  — её вы­со­та. Имеем:

Пло­щадь всей тра­пе­ции равна 6h, по­это­му из усло­вия сле­ду­ет, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка CLK равна а пло­щадь тре­уголь­ни­ка KLD со­став­ля­ет От­сю­да Тре­уголь­ни­ки BCK и LMD по­доб­ны по двум про­пор­ци­о­наль­ным сто­ро­нам и углу между ними, зна­чит, равны углы BKC и MDL. От­сю­да сле­ду­ет па­рал­лель­ность пря­мых BK и DL. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть про­дол­же­ния бо­ко­вых сто­рон тра­пе­ции пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. За­ме­тим, что BC  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка LEM, по­это­му Зна­чит, тре­уголь­ни­ки ECL и EAK по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том 2 : 3, от­ку­да AK  =  6. KL  — се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к AB, по­это­му На­ко­нец, тре­уголь­ни­ки BCK и LMD по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том 1 : 2, по­это­му

Ответ: б) 12.

Ре­ше­ние. Решим не­ра­вен­ство графо-ана­ли­ти­че­ским спо­со­бом. ОДЗ дан­но­го не­ра­вен­ства:

В си­сте­ме ко­ор­ди­нат по­лу­чен­ное не­ра­вен­ство за­да­ет xOa по­лу­плос­кость, ле­жа­щую выше пря­мой вклю­чая эту пря­мую.

Левая часть об­ра­ща­ет­ся в нуль, если

В си­сте­ме ко­ор­ди­нат xOa гра­фи­ком пер­во­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся окруж­ность с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат и ра­ди­у­сом (с учётом ОДЗ  — дуга этой окруж­но­сти). Гра­фи­ком вто­ро­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся пря­мая

Дуга окруж­но­сти делит по­лу­плос­кость, со­от­вет­ству­ю­щую ОДЗ, на две части (внут­ри окруж­но­сти и сна­ру­жи). Про­ве­рим, вы­пол­ня­ет­ся ли не­ра­вен­ство, под­ста­вив ко­ор­ди­на­ты проб­ных точек.

Часть плос­ко­сти внут­ри окруж­но­сти, проб­ная точка

Часть плос­ко­сти сна­ру­жи окруж­но­сти, проб­ная точка

Таким об­ра­зом, не­ра­вен­ству удо­вле­тво­ря­ют ко­ор­ди­на­ты всех точек дуги окруж­но­сти, пря­мой и части круга огра­ни­чен­ной пря­мой снизу (вы­де­ле­но зелёным).

Тогда при не­ра­вен­ство имеет одно ре­ше­ние, при не­ра­вен­ство имеет бес­ко­неч­ное число ре­ше­ний, при не­ра­вен­ство имеет два ре­ше­ния, при не­ра­вен­ство имеет одно ре­ше­ние.

Ответ:

Ре­ше­ние. Со­ста­вим таб­ли­цу, по­ка­зы­ва­ю­щую на что за­ме­ня­ют­ся цифры при взя­тии вза­им­но­го числа:

То есть цифры 0, 1, 4, 5, 6, 9 не ме­ня­ют­ся, а осталь­ные ме­ня­ют­ся на до­пол­не­ние до 10.

а)  Из этой таб­ли­цы видно, что по каж­дой цифре вза­им­но­го числа од­но­знач­но вос­ста­нав­ли­ва­ет­ся цифра ис­ход­но­го, по­это­му сов­па­де­ние вза­им­ных чисел не­воз­мож­но.

б)  За­пи­шем число в виде

где   — цифры. Пусть далее

тогда

При этом для каж­до­го но­ме­ра цифры либо и эта цифра за­ме­ня­ет­ся на себя же, либо   — эта цифра тоже за­ме­ня­ет­ся на себя. Зна­чит, дан­ное число все­гда осо­бен­ное. Трех­знач­ное осо­бен­ное число стро­ит­ся так  — на пер­вое место можно по­ста­вить любую из 5 цифр 1, 4, 5, 6, 9, на осталь­ные места еще и 0, что дает ва­ри­ан­тов.

в)  Из этого урав­не­ния по­лу­ча­ем: Зна­чит, (см. п. б), на пер­вом месте у n обя­за­тель­но стоит 6, на тре­тьем 9, а на вто­ром либо 5 (и не ме­ня­ет­ся), либо одна из ме­ня­ю­щих­ся цифр. Окон­ча­тель­но,

Ответ: а)  нет; б)  все­гда, 180; в)