Ре­ше­ние. а)  При­ме­ним фор­му­лы при­ве­де­ния, по­лу­чим:

Об­ласть опре­де­ле­ния урав­не­ния: На этой об­ла­сти про­из­ве­де­ние равно нулю, если один из мно­жи­те­лей равен нулю:

В ОДЗ лежат числа

б)  За­ме­тим, что:

По­это­му на от­рез­ке лежат числа

Ответ: a) б)

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что так как угол ромба при вер­ши­не A равен 60°, ромб со­став­лен из двух рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков ABD и BCD. Тогда диа­го­наль AC равна удво­ен­ной вы­со­те этих тре­уголь­ни­ков, то есть

За­ме­тим, что

сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник SAC пря­мо­уголь­ный, а пря­мые SC и AC вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

Пусть O  — центр ромба, тогда пря­мая SO пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BD как вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка SBD. Кроме того, пря­мые AC и BD вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны как диа­го­на­ли ромба. Сле­до­ва­тель­но, пря­мая BD пер­пен­ди­ку­ляр­на грани SAC. По­это­му пря­мые SC и BD вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, а зна­чит, пря­мая  SC пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию ABCD.

б)  В п. а) до­ка­за­но, что пря­мая BD пер­пен­ди­ку­ляр­на грани SAC, сле­до­ва­тель­но, про­ек­ци­ей пря­мой SB на плос­кость SAC яв­ля­ет­ся пря­мая SO и ис­ко­мый угол равен углу BSO. За­ме­тим, что:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть Тогда а по свой­ству ме­ди­а­ны. Сле­до­ва­тель­но,

Зна­чит,

б)  Пусть тогда Зна­чит,

Пусть тогда сле­до­ва­тель­но,

и тогда

За­ме­тим, что (тре­уголь­ни­ки имеют общую вы­со­ту, про­ве­ден­ную из вер­ши­ны A, BK  =  KC), ана­ло­гич­но зна­чит,

Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ет­ся, что зна­чит,

За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки QMR и BMR имеют общую вы­со­ту, про­ве­ден­ную из вер­ши­ны R. Зна­чит,

то есть Ана­ло­гич­но, тре­уголь­ни­ки BMR и BMC имеют общую вы­со­ту, про­ве­ден­ную из вер­ши­ны B, зна­чит,

то есть Сле­до­ва­тель­но,

Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем, что (тре­уголь­ни­ки PMB и PMQ имеют общую вы­со­ту из вер­ши­ны P, их пло­ща­ди от­но­сят­ся как ос­но­ва­ния BM и QM),

По­лу­ча­ем, что Пло­щадь (тре­уголь­ни­ки имеют общую вы­со­ту, про­ве­ден­ную из вер­ши­ны R, их пло­ща­ди от­но­сят­ся как ос­но­ва­ния PM и AR). Имеем:

(тре­уголь­ни­ки имеют общую вы­со­ту, про­ве­ден­ную из вер­ши­ны A). Зна­чит, По­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что от­ку­да Тогда от­ку­да по тео­ре­ме Виета одно из чисел и равно 1, а вто­рое 16. Рас­смот­рим два слу­чая.

Слу­чай 1: Если по­стро­ить 63 дома, каж­дый из них будет иметь пло­щадь тогда за­тра­ты на ма­те­ри­а­лы со­ста­вят а на осталь­ное До­ка­жем, что то есть, что это верно, по­сколь­ку

Пусть ре­ше­но стро­ить дома пло­ща­дью a м². Их будет штук, и за каж­дый при­дет­ся за­пла­тить по­это­му общие рас­хо­ды на стро­и­тель­ство со­ста­вят

Здесь мы вос­поль­зо­ва­лись тем, что сумма двух вза­им­но об­рат­ных чисел не мень­ше двух. Не­ра­вен­ство об­ра­ща­ет­ся в ра­вен­ство толь­ко когда оба этих числа еди­ни­цы, то есть если Од­на­ко по­стро­ить домов нель­зя, по­сколь­ку это не­це­лое число.

За­ме­тим, что при по­ло­жи­тель­ных зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной вы­ра­же­ние рас­тет при уда­ле­нии x от еди­ни­цы в любую сто­ро­ну (его про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на при и от­ри­ца­тель­на при Зна­чит, нужно вы­брать a как можно ближе к 16. При этом долж­но ока­зать­ся целым. Оче­вид­но, при этом будет по­стро­е­но либо 156, либо 157 домов пло­ща­дью или м². Оста­лось вы­яс­нить, какая из дро­бей или мень­ше (они обе боль­ше еди­ни­цы, по­это­му для мень­шей из дро­бей ее сумма с об­рат­ной будет мень­ше). Итак, срав­ним числа:

По­сколь­ку более вы­год­но будет по­стро­ить 156 домов.

Слу­чай 2: Оче­вид­но, тогда по­это­му такой слу­чай не­воз­мо­жен.

Ответ: 156 домов.

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 513774.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем си­сте­му:

За­ме­тим, что в урав­не­нии каж­до­му зна­че­нию пе­ре­мен­ной y со­от­вет­ству­ет не более двух зна­че­ний пе­ре­мен­ной x, а имен­но, если то два зна­че­ния, то одно зна­че­ние, то со­от­вет­ству­ю­щих зна­че­ний пе­ре­мен­ной x не су­ще­ству­ет. Зна­чит, ко­ли­че­ство ре­ше­ний си­сте­мы не пре­вы­ша­ет удво­ен­но­го числа кор­ней урав­не­ния По­стро­им эскиз гра­фи­ка этого урав­не­ния в си­сте­ме ко­ор­ди­нат

При урав­не­ние (⁎), а зна­чит, и ис­ход­ная си­сте­ма не имеют ре­ше­ний. При или урав­не­ние (⁎) имеет два корня, зна­чит, ис­ход­ная си­сте­ма имеет не более четырёх ре­ше­ний. При урав­не­ние (⁎) имеет че­ты­ре корня, все эти корни такие, что зна­чит, ис­ход­ная си­сте­ма имеет во­семь ре­ше­ний. При урав­не­ние (⁎) имеет три корня, все эти корни такие, что зна­чит, ис­ход­ная си­сте­ма имеет шесть ре­ше­ний.

Таким об­ра­зом, ис­ход­ная си­сте­ма имеет не менее шести ре­ше­ний при

Ответ:

Ре­ше­ние. Ком­мен­та­рий к усло­вию за­да­чи: в усло­вии за­да­чи ни­че­го не ска­за­но про то, ка­ки­ми яв­ля­ют­ся ко­эф­фи­ци­ен­ты m и k квад­рат­но­го трех­чле­на. Ис­хо­дя из ав­тор­ских от­ве­тов, ниже при­ве­де­ны ре­ше­ния для слу­чая, когда m и k  — целые числа.

Пусть корни равны a и b. По тео­ре­ме Виета, и ab  =  k.

а)  Число 6 можно за­пи­сать в виде суммы двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных сла­га­е­мых двумя спо­со­ба­ми 6  =  1 + 5  =  2 + 4, тогда k  =  5 или k  =  8.

б)  Пе­ре­пи­шем урав­не­ние в виде ab + a + b  =  45, то есть ab + a + b + 1  =  46, (a + 1)(b + 1)  =  46. Оба мно­жи­те­ля  — на­ту­раль­ные числа, не мень­шие двух, по­это­му они равны 23 и 2. Зна­чит, числа a и b равны 22 и 1, а тогда m  =  −(1 + 22)  =  −23.

в)  За­пи­шем урав­не­ние в виде Числа и k + m имеют оди­на­ко­вую чет­ность, по­это­му они оба четны. При этом пер­вое число боль­ше (по­сколь­ку m < 0). Зна­чит, либо k + m  =  26, от­ку­да m  =  −30, k  =  56 и урав­не­ние x² − 30x + 56  =  0 имеет корни 2 и 28, либо k + m  =  2, от­ку­да m  =  −558, k  =  560 и урав­не­ние x² − 558x + 560  =  0 не имеет на­ту­раль­ных кор­ней.

Ответ: а)  5 или 8; б)  −23; в)  2 и 28.