Ре­ше­ние. а)  Урав­не­ние опре­де­ле­но, если Умно­жим на при этом усло­вии и раз­ло­жим на мно­жи­те­ли:

По­след­няя серия не под­хо­дит, по­сколь­ку Таким об­ра­зом,

б)  Отбор кор­ней про­ве­дем на три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти (см. рис.). На за­дан­ном по­лу­ин­тер­ва­ле лежат два корня: и

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть T  — такая точка на SD, что от­рез­ки RT и BD па­рал­лель­ны, тогда RT при­над­ле­жит се­че­нию. От­ре­зок RT лежит в плос­ко­сти SBD и пе­ре­се­ка­ет вы­со­ту SO в точке K. Таким об­ра­зом, пря­мая CK также лежит в плос­ко­сти се­че­ния SAC. Пусть L  — точка пе­ре­се­че­ния CK и SA, это точка пе­ре­се­че­ния се­ку­щей плос­ко­сти с реб­ром SA. От­рез­ки SK и KO, SR и RB, ST и TD от­но­сят­ся друг к другу как 2 к 1, при этом SO  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка SAC. Сле­до­ва­тель­но, K  — точка пе­ре­се­че­ния его ме­ди­ан и CL тоже ме­ди­а­на. Таким об­ра­зом, SL  =  LA.

б)  Се­че­ни­ем пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся дель­то­ид CRLT, со­став­лен­ный из двух рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ков. Пло­щадь дель­то­и­да равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей. За­ме­тим, что

Най­дем дру­гую диа­го­наль. Пусть L'  — про­ек­ция точки L на AC, тогда

Для ис­ко­мой пло­ща­ди се­че­ния по­лу­ча­ем:

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пусть тогда

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  За­пи­шем тео­ре­му Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ABD и се­ку­щей CE:

б)  Най­дем от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков AEO и ABD:

Зна­чит,

Тре­уголь­ни­ки ABD и ABC имеют общую вы­со­ту, про­ве­ден­ную из вер­ши­ны A, по­это­му их пло­ща­ди от­но­сят­ся, как сто­ро­ны BD и BC:

Зна­чит,

Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC:

Тогда для ис­ко­мой пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка BDOE по­лу­ча­ем:

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пер­вая вы­пла­та будет со­став­лять тыс. руб.

Вто­рая вы­пла­та: тыс. руб.

Тре­тья вы­пла­та: тыс. руб.

Наи­мень­шее зна­че­ние S, при ко­то­ром каж­дая из вы­плат будет со­став­лять целое число тысяч руб­лей, яв­ля­ет­ся наи­мень­шим общим крат­ным чисел 40, 400 и 100, то есть чис­лом 400.

Ответ: 400.

Ре­ше­ние. По усло­вию Пусть x₁ и x₂  — корни квад­рат­но­го урав­не­ния най­дем мо­дуль их раз­но­сти:

Точки экс­тре­му­ма функ­ции найдём при по­мо­щи про­из­вод­ной:

Корни x₃ и x₄ квад­рат­но­го урав­не­ния яв­ля­ют­ся точ­ка­ми экс­тре­му­ма функ­ции рас­сто­я­ние между ними равно

Для от­ве­та на во­прос за­да­чи решим не­ра­вен­ство:

Ответ:

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что если у маль­чи­ка нет удоч­ки или кор­зин­ки, то их можно ему дать, от этого все усло­вия за­да­чи не на­ру­шат­ся. На­о­бо­рот, если у де­воч­ки есть и то и дру­гое, можно отобрать что-то одно и усло­вия тоже не на­ру­шат­ся. Пусть было x де­во­чек с удоч­ка­ми и y де­во­чек с кор­зин­ка­ми, а маль­чи­ков было z. Тогда от­ку­да Ана­ло­гич­но

а)  По усло­вию по­это­му и Можно взять 15 маль­чи­ков, 4 де­во­чек с удоч­ка­ми и 7 де­во­чек с кор­зин­ка­ми  — усло­вия будут вы­пол­не­ны.

б)  Если взять то по­лу­чим от­ку­да Ана­ло­гич­но по­это­му всего детей менее   — про­ти­во­ре­чие.

в)  Оце­ним долю маль­чи­ков:

Это зна­че­ние дей­стви­тель­но до­сти­га­ет­ся, если в поход пошли 14 маль­чи­ков, 4 де­воч­ки с удоч­ка­ми и 7  — с кор­зин­ка­ми.

Ответ: а)  да; б)  11; в) 

При­ме­ча­ние.

Ре­ко­мен­ду­ем срав­нить это за­да­ние с за­да­ни­ем 505541 из ЕГЭ 2012 года.