Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон ВС, АВ и АС в точках K, L и М соответственно. Прямая КМ вторично пересекает в точке Р окружность радиуса АМ с центром А.
а) Докажите, что прямая АР параллельна прямой ВС.
б) Пусть 
AM = 3, CM = 2, Q — точка пересечения прямых КМ и АВ, а Т — такая точка на отрезке РQ, что 
Найдите QT.
а) Отрезки CK и CM являются отрезками касательных, проведенных из точки C к окружности с центром в O, следовательно, они равны, значит, равны углы CKM и CMK. Отрезки AM и AP равны, поскольку являются радиусами окружности с центром в точке A. Следовательно, треугольник PAM равнобедренный, углы APM и AMP при его основании равны. Углы AMP и KMC равны как вертикальные, а углы KMC и CMK равны как углы при основании равнобедренного треугольника CMK.
Итак,
а потому прямые AP и BC параллельны.
б) Отрезки BK и BL равны, обозначим их длины x. Тогда
Из подобия треугольников BKQ и APQ следует:
Воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике APQ:
Далее, AO является биссектрисой угла BAC, а угол OAT по условию равен половине угла BAP, поэтому AT — биссектриса угла 
Треугольник MAP равнобедренный, поэтому AT перпендикулярно 
Теперь, используя подобие треугольников QAP и QTA, получаем:
Ответ: б) 