Ре­ше­ние. За­ме­тим, что по фор­му­ле при­ве­де­ния

а по­то­му пра­вая часть равна нулю. Тогда урав­не­ние при­ни­ма­ет вид

а зна­чит, яв­ля­ет­ся пол­ным од­но­род­ным три­го­но­мет­ри­че­ским урав­не­ни­ем тре­тьей сте­пе­ни. Раз­де­лив обе части урав­не­ния на по­лу­чим ку­би­че­ское урав­не­ние от­но­си­тель­но тан­ген­са:

Обо­зна­чим и решим его ме­то­дом груп­пи­ров­ки:

Итак, от­ку­да со­от­вет­ствен­но.

Отбор кор­ней про­ве­дем на три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти (см. рис.). На от­рез­ке лежат числа и

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  В тра­пе­ции ABCD про­ве­дем вы­со­ту BH. Тогда Сле­до­ва­тель­но, угол ABH равен 30°, углы ADC и BAH равны 60°, а угол BCD равен 120°. От­рез­ки BC, AB и CD равны, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник BCD рав­но­бед­рен­ный. Углы CBD и CDB равны

Таким об­ра­зом, угол BDA равен 30°, тогда угол DBA равен 90°, а зна­чит, от­рез­ки AB и BD пер­пен­ди­ку­ляр­ны как ка­те­ты пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABD. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах от­рез­ки B₁D и AB пер­пен­ди­ку­ляр­ны и, сле­до­ва­тель­но, B₁D пер­пен­ди­ку­ляр­но A₁B₁.

б)  Пусть AB  =  BC  =  CD  =  a, а AD  =  AA₁  =  2a. Через точку D про­ве­дем пря­мую, па­рал­лель­ную CD₁. Пусть она пе­ре­се­ка­ет пря­мую CC₁ в точке C₂. Тогда ис­ко­мый угол равен углу между пря­мы­ми DB₁ и DC₂. Най­дем его из тре­уголь­ни­ка DB₁C₂. Пусть CC₂  =  CC₁  =  AA₁  =  2a. Най­дем B₁C₂ по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке  B₁C₂C₁:

Пря­мые DC₂ и CD₁ равны, тогда най­дем пря­мую CD₁ по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка CD₁D:

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABD:

Най­дем B₁D по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке B₁DB:

При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка B₁DC₂:

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство, ис­поль­зуя свой­ства ло­га­риф­ма, затем при­ме­ним метод ра­ци­о­на­ли­за­ции:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  От­рез­ки CK и CM яв­ля­ют­ся от­рез­ка­ми ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных из точки C к окруж­но­сти с цен­тром в O, сле­до­ва­тель­но, они равны, зна­чит, равны углы CKM и CMK. От­рез­ки AM и AP равны, по­сколь­ку яв­ля­ют­ся ра­ди­у­са­ми окруж­но­сти с цен­тром в точке A. Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник PAM рав­но­бед­рен­ный, углы APM и AMP при его ос­но­ва­нии равны. Углы AMP и KMC равны как вер­ти­каль­ные, а углы KMC и CMK равны как углы при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка CMK.

Итак,

а по­то­му пря­мые AP и BC па­рал­лель­ны.

б)   От­рез­ки BK и BL равны, обо­зна­чим их длины x. Тогда

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков BKQ и APQ сле­ду­ет:

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке APQ:

Далее, AO яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла BAC, а угол OAT по усло­вию равен по­ло­ви­не угла BAP, по­это­му AT  — бис­сек­три­са угла Тре­уголь­ник MAP рав­но­бед­рен­ный, по­это­му AT пер­пен­ди­ку­ляр­но Те­перь, ис­поль­зуя по­до­бие тре­уголь­ни­ков QAP и QTA, по­лу­ча­ем:

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пусть на стро­и­тель­стве пер­во­го дома будет ра­бо­тать x че­ло­век, тогда на стро­и­тель­стве вто­ро­го дома  — (35 − x) че­ло­век. При таком рас­пре­де­ле­нии придётся за сутки вы­пла­тить ра­бо­чим де­неж­ных еди­ниц. Рас­смот­рим функ­цию

Это квад­ра­тич­ная функ­ция с по­ло­жи­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том, она при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние в точке По­это­му на мно­же­стве не­от­ри­ца­тель­ных целых чисел не пре­вос­хо­дя­щих 35, наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции равно

Ответ: 2575 д. е.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

На от­рез­ке функ­ция убы­ва­ет. Зна­чит, чтобы от­ре­зок яв­лял­ся ре­ше­ни­ем не­ра­вен­ства не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы вы­пол­ня­лось не­ра­вен­ство

Ответ:

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим пер­вые два члена по­сле­до­ва­тель­но­сти a и b со­от­вет­ствен­но. Тогда

а)  Усло­вие рав­но­силь­но тому, что то есть Зна­чит, для по­сле­до­ва­тель­но­сти, на­при­мер, 3, 1, 4, 5, 9 оно будет вы­пол­не­но.

б)  Усло­вие рав­но­силь­но тому, что то есть что не­воз­мож­но.

в)  Пусть Тогда Урав­не­ние при­мет вид

По­сколь­ку при спра­вед­ли­вы оцен­ки

при это ра­вен­ство вы­пол­нять­ся не может.

При по­лу­ча­ем то есть Зна­чит, и

При по­лу­ча­ем то есть Зна­чит, и Вы­брав, на­при­мер, по­лу­чим по­сле­до­ва­тель­ность 1, 1, 2, 3, 5, 8, ..., удо­вле­тво­ря­ю­щую усло­вию при

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  5.