ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 13 № 551761 Добавить в вариант

а)  Решите уравнение

$2 синус в кубе x минус синус в квадрате x умножить на косинус x минус 13 синус x умножить на косинус в квадрате x минус 6 косинус в кубе x= синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс x правая круглая скобка минус косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби минус x правая круглая скобка .$ $2 синус в кубе x минус синус в квадрате x умножить на косинус x минус 13 синус x умножить на косинус в квадрате x минус$
$минус 6 косинус в кубе x= синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс x правая круглая скобка минус косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби минус x правая круглая скобка .$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что по формуле приведения

$косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби минус x правая круглая скобка = синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби минус x правая круглая скобка правая круглая скобка = синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс x правая круглая скобка ,$

а потому правая часть равна нулю. Тогда уравнение принимает вид

$2 синус в кубе x минус синус в квадрате x умножить на косинус x минус 13 синус x умножить на косинус в квадрате x минус 6 косинус в кубе x=0,$

а значит, является полным однородным тригонометрическим уравнением третьей степени. Разделив обе части уравнения на $косинус в кубе x,$ получим кубическое уравнение относительно тангенса:

$2 тангенс в кубе x минус тангенс в квадрате x минус 13 тангенс x минус 6=0.$

Обозначим $тангенс x=t$ и решим его методом группировки:

$2t в кубе минус t в квадрате минус 13t минус 6=0 равносильно 2t в кубе плюс 4t в квадрате минус 5t в квадрате минус 10t минус 3t минус 6=0 равносильно$

$равносильно 2t в квадрате левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка минус 5t левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка минус 3 левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка =0 равносильно левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2t в квадрате минус 5t минус 3 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений t=3,t= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,t= минус 2. конец совокупности .$ $равносильно 2t в квадрате левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка минус 5t левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка минус 3 левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2t в квадрате минус 5t минус 3 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений t=3,t= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,t= минус 2. конец совокупности .$

Итак, $тангенс x=3,$ $тангенс x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $тангенс x= минус 2,$ откуда $x= арктангенс 3 плюс Пи k,$ $x= минус арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,$ $x= минус арктангенс 2 плюс Пи k,k принадлежит Z$ соответственно.

Отбор корней проведем на тригонометрической окружности (см. рис.). На отрезке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка$ лежат числа $минус арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус арктангенс 2$ и $арктангенс 3.$

Ответ: а) $левая фигурная скобка минус арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, минус арктангенс 2 плюс Пи k, арктангенс 3 плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус арктангенс 2,$ $арктангенс 3.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 326. (часть C)

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на тангенс или котангенс

Методы алгебры: Сведение к однородному, Формулы приведения

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь