Ре­ше­ние. а)  Зна­ме­на­тель дроби не может быть равен нулю:

При таких х можно умно­жить на зна­ме­на­тель, а зна­чит, ис­ход­ное урав­не­ние эк­ви­ва­лент­но урав­не­нию от­ку­да и, сле­до­ва­тель­но,

Тогда

Огра­ни­че­нию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко

б)  Най­ден­ные ре­ше­ния со­от­вет­ству­ют точке еди­нич­ной окруж­но­сти, ле­жа­щей во вто­рой чет­вер­ти. По­это­му ни­ка­кое из ре­ше­ний не лежит на от­рез­ке

Ответ: а) б) ис­ко­мых ре­ше­ний нет.

Ре­ше­ние. а)  Пусть точка K  — се­ре­ди­на AB. Пря­мая CK со­дер­жит точку H  — ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды, сле­до­ва­тель­но, и плос­кость пер­пен­ди­ку­ляр­на ABC. Пусть M  — точка пе­ре­се­че­ния и BD. Пря­мая BK пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти зна­чит, ис­ко­мый угол  — угол BMK. Далее, а по тео­ре­ме Ме­не­лая таким об­ра­зом, Пусть от­сю­да имеем: тогда От­ку­да и Зна­чит, то есть угол BMK равен 30°.

б)  Пусть P  — се­ре­ди­на NC. Тогда пря­мая DP па­рал­лель­на пря­мой SC, по­сколь­ку яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей тре­уголь­ни­ка NSC. Сле­до­ва­тель­но, пря­мая SC па­рал­лель­на плос­ко­сти DPB. Зна­чит, ис­ко­мое рас­сто­я­ние между BD и SC равно рас­сто­я­нию от точки C до плос­ко­сти BDP, пусть оно равно h. Из­вест­но, что Таким об­ра­зом, объем пи­ра­ми­ды

С дру­гой сто­ро­ны,

от­ку­да Имеем:

от­ку­да

таким об­ра­зом,

Те­перь най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка BDP. Най­дем

тогда сле­до­ва­тель­но,

От­ку­да по­лу­ча­ем и, зна­чит,

Ответ: б)

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что мно­жи­те­ли и опре­де­ле­ны при равны нулю в точ­ках 2 и 5 со­от­вет­ствен­но, при­чем при этих зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной не­ра­вен­ство вы­пол­не­но. При про­чих х из по­лу­ин­тер­ва­ла [2; 6) дан­ные мно­жи­те­ли по­ло­жи­тель­ны, по­это­му на них можно раз­де­лить, не меняя знака не­ра­вен­ства. По­лу­ча­ем не­ра­вен­ство: от­ку­да то есть или По­лу­ин­тер­ва­лу [2; 6) при­над­ле­жат ре­ше­ния и оста­лось при­со­еди­нить в ним числа 2 и 5.

Ответ:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Вос­поль­зу­ем­ся ме­то­дом ра­ци­о­на­ли­за­ции:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Углы CBD и ADB равны как на­крест ле­жа­щие, углы ABD и BCD равны по тео­ре­ме об угле между ка­са­тель­ной и хор­дой. Таким об­ра­зом, тре­уголь­ни­ки ABD и DCB по­доб­ны по двум углам, от­ку­да то есть

б)  За­ме­тим, что то есть Сле­до­ва­тель­но, а зна­чит, AB  =  BD. Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков ABD и DCB на­хо­дим, что BC  =  CD. Ис­поль­зуя след­ствие из тео­ре­мы ко­си­ну­сов, на­хо­дим

Зна­чит, угол C = 120°, тогда по обоб­щен­ной тео­ре­ме си­ну­сов

от­ку­да R = 5.

Ответ: б) 5.

Ре­ше­ние. Введём сле­ду­ю­щие обо­зна­че­ния: ско­рость пер­во­го ве­ло­си­пе­ди­ста до раз­во­ро­та равна υ км/ч, путь в одну сто­ро­ну со­став­ля­ет S + 5 км, общее время в пути t ч. Тогда ско­рость вто­ро­го ве­ло­си­пе­ди­ста до раз­во­ро­та равна υ + 4 км/ч. Спра­вед­ли­вы ра­вен­ства:

По смыс­лу за­да­чи Из ра­вен­ства (1) по­лу­ча­ем

Под­ста­вив по­лу­чен­ное зна­че­ние в ра­вен­ство (2), имеем:

За­ме­тим, что для по­ло­жи­тель­ных υ сумма двух вза­им­но об­рат­ных чисел

тогда

при­чем ра­вен­ство до­сти­га­ет­ся толь­ко при

Зна­чит, при ско­ро­сти пер­во­го ве­ло­си­пе­ди­ста 8 км/ч время его по­езд­ки по парку будет наи­мень­шим.

Ответ: 8 км/ч.

Ре­ше­ние. Сде­ла­ем за­ме­ну и пе­ре­фор­му­ли­ру­ем за­да­чу. За­ме­тим, что лю­бо­му зна­че­нию найдётся со­от­вет­ству­ю­щее зна­че­ние x. По­это­му тре­бу­ет­ся найти все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых будет иметь по­ло­жи­тель­ное ре­ше­ние t си­сте­ма урав­не­ний

За­ме­тим, что при си­сте­ма имеет ре­ше­ния, на­при­мер,

При си­сте­ма при­мет вид

Урав­не­ние (2) имеет ре­ше­ние при любом a и по­это­му на­ли­чие ре­ше­ний у си­сте­мы опре­де­ля­ет­ся на­ли­чи­ем ре­ше­ний у урав­не­ния (1). Для всех по­лу­ча­ем

Зна­чит, урав­не­ние (1) имеет ре­ше­ния при Решим это двой­ное не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов:

Таким об­ра­зом, ис­ход­ная си­сте­ма имеет хотя бы одно ре­ше­ние при

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть число b со­дер­жит k цифр. Тогда, при­пи­сы­вая b после a, по­лу­чим число при­чем по усло­вию Ясно, что по­это­му и, зна­чит, По­это­му либо либо

Если по­лу­ча­ем от­ку­да Тогда при этом число и яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем 22. Зна­чит, или и, со­от­вет­ствен­но, или Дей­стви­тель­но, и

Если (мы на­чи­на­ем ре­шать пункт б)), то от­ку­да то есть Это не­воз­мож­но, по­сколь­ку

При­ве­ден­ным рас­суж­де­ни­ем най­де­ны все ис­ко­мые числа  — пункт в) решен.

Ответ: а) а  =  12, b  =  8; б) нет; в) а  =  12, b  =  8 или а  =  23, b  =  9.