Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д16 C5 № 535427
i

Пер­вый ве­ло­си­пе­дист въез­жа­ет в парк рань­ше вто­ро­го и про­ез­жа­ет 5 км. После этого в парк въез­жа­ет вто­рой и едет со ско­ро­стью на 4 км/ч боль­ше, чем пер­вый. Через не­ко­то­рое время вто­рой ве­ло­си­пе­дист до­го­ня­ет пер­во­го. В тот же мо­мент они по­во­ра­чи­ва­ют об­рат­но и со ско­ро­стью 16 км/ч од­но­вре­мен­но вы­ез­жа­ют из парка, за­кан­чи­вая по­езд­ку. При какой ско­ро­сти пер­во­го ве­ло­си­пе­ди­ста время его по­езд­ки по парку будет наи­мень­шим?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Введём сле­ду­ю­щие обо­зна­че­ния: ско­рость пер­во­го ве­ло­си­пе­ди­ста до раз­во­ро­та равна υ км/ч, путь в одну сто­ро­ну со­став­ля­ет S + 5 км, общее время в пути t ч. Тогда ско­рость вто­ро­го ве­ло­си­пе­ди­ста до раз­во­ро­та равна υ + 4 км/ч. Спра­вед­ли­вы ра­вен­ства:

\beginalign дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: v конец дроби = дробь: чис­ли­тель: S плюс 5, зна­ме­на­тель: v плюс 4 конец дроби , левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка t = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: v конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: v конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: S плюс 5, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби . левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \endalign

По смыс­лу за­да­чи v боль­ше 0. Из ра­вен­ства (1) по­лу­ча­ем

v левая круг­лая скоб­ка S плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка v плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка S рав­но­силь­но S= дробь: чис­ли­тель: 5 v , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Под­ста­вив по­лу­чен­ное зна­че­ние в ра­вен­ство (2), имеем:

t= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: v конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 5 v плюс 20, зна­ме­на­тель: 64 конец дроби = 5 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби upsilon плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: v , зна­ме­на­тель: 64 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби 16 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: конец дроби upsilon плюс дробь: чис­ли­тель: v , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

За­ме­тим, что для по­ло­жи­тель­ных υ сумма двух вза­им­но об­рат­ных чисел

дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: конец дроби upsilon плюс дробь: чис­ли­тель: v , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби \geqslant2,

тогда

t= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: конец дроби upsilon плюс дробь: чис­ли­тель: v , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2 плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 45, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби ,

при­чем ра­вен­ство до­сти­га­ет­ся толь­ко при v =8.

Зна­чит, при ско­ро­сти пер­во­го ве­ло­си­пе­ди­ста 8 км/ч время его по­езд­ки по парку будет наи­мень­шим.

 

Ответ: 8 км/ч.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ3
Верно по­стро­е­на ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель, ре­ше­ние све­де­но к ис­сле­до­ва­нию этой мо­де­ли и по­лу­чен ре­зуль­тат:

– не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки;

– вер­ный ответ, но ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но

2
Верно по­стро­е­на ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель, ре­ше­ние све­де­но к ис­сле­до­ва­нию этой мо­де­ли, при этом ре­ше­ние может быть не за­вер­ше­но1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 306 (часть 2)
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025