ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 15 № 535425 Добавить в вариант

Решите неравенство $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента умножить на левая круглая скобка 81 минус 3 в степени x правая круглая скобка умножить на \log в квадрате _0,5 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка , знаменатель: 3 в степени x минус 720 конец дроби меньше или равно 0.$

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что множители $корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента$ и $\log в квадрате _0,5 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка$ определены при $2 меньше или равно x меньше 6,$ равны нулю в точках 2 и 5 соответственно, причем при этих значениях переменной неравенство выполнено. При прочих х из полуинтервала [2; 6) данные множители положительны, поэтому на них можно разделить, не меняя знака неравенства. Получаем неравенство: $дробь: числитель: 81 минус 3 в степени x , знаменатель: 3 в степени x минус 720 конец дроби меньше или равно 0,$ откуда $81 меньше или равно 3 в степени x меньше 720,$ то есть $x меньше 4$ или $x больше или равно логарифм по основанию 3 720.$ Полуинтервалу [2; 6) принадлежат решения $левая круглая скобка 2;4 правая квадратная скобка$ и $левая круглая скобка 2 плюс логарифм по основанию 3 80;6 правая круглая скобка ,$ осталось присоединить в ним числа 2 и 5.

Ответ: $левая квадратная скобка 2;4 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 5 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 2 плюс логарифм по основанию 3 80;6 правая круглая скобка .$

Приведем другое решение.

Воспользуемся методом рационализации:

$дробь: числитель: корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента умножить на левая круглая скобка 81 минус 3 в степени x правая круглая скобка умножить на \log в квадрате _0,5 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка , знаменатель: 3 в степени x минус 720 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента умножить на левая круглая скобка 3 в степени 4 минус 3 в степени x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 3 в степени x минус 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 720 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$ $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента умножить на левая круглая скобка 81 минус 3 в степени x правая круглая скобка умножить на \log в квадрате _0,5 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка , знаменатель: 3 в степени x минус 720 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента умножить на левая круглая скобка 3 в степени 4 минус 3 в степени x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 3 в степени x минус 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 720 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно система выражений x минус 2\geqslant0,6 минус x больше 0, дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 6 плюс x правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: x минус логарифм по основанию 3 720 конец дроби \leqslant0 конец системы . равносильно система выражений 2 меньше или равно x меньше 6, дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: x минус 2 минус логарифм по основанию 3 80 конец дроби \leqslant0 конец системы . равносильно совокупность выражений 2 меньше или равно x\leqslant4,x=5,2 плюс логарифм по основанию 3 80 меньше x меньше 6. конец совокупности .$ $равносильно система выражений x минус 2\geqslant0,6 минус x больше 0, дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 6 плюс x правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: x минус логарифм по основанию 3 720 конец дроби \leqslant0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2 меньше или равно x меньше 6, дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: x минус 2 минус логарифм по основанию 3 80 конец дроби \leqslant0 конец системы . равносильно совокупность выражений 2 меньше или равно x\leqslant4,x=5,2 плюс логарифм по основанию 3 80 меньше x меньше 6. конец совокупности .$ $равносильно система выражений x минус 2\geqslant0,6 минус x больше 0, дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 6 плюс x правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: x минус логарифм по основанию 3 720 конец дроби \leqslant0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2 меньше или равно x меньше 6, дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: x минус 2 минус логарифм по основанию 3 80 конец дроби \leqslant0 конец системы . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2 меньше или равно x\leqslant4,x=5,2 плюс логарифм по основанию 3 80 меньше x меньше 6. конец совокупности .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 306 (часть 2)

Классификатор алгебры: Иррациональные неравенства, Логарифмические неравенства, Неравенства с модулями, Показательные уравнения и неравенства

Методы алгебры: Метод интервалов, Рационализация неравенств. Корни, Рационализация неравенств. Логарифмы, Рационализация неравенств. Степени

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь