Ре­ше­ние. а)  Решим урав­не­ние:

б)  Отберём корни на про­ме­жут­ке с по­мо­щью три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти (см. рис.). По­лу­чим числа и

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  По­стро­им ука­зан­ные плос­ко­сти. Через точку B про­ведём пря­мую BL, па­рал­лель­ную NA тогда пер­вое се­че­ние BLQ. Оче­вид­но, что QB  — также ме­ди­а­на и вы­со­та, зна­чит,

В грани PMN про­ве­дем ме­ди­а­ну, вы­со­ту, бис­сек­три­су MB, S  — точка пе­ре­се­че­ния MB и NA. В плос­ко­сти MBQ про­ве­дем пря­мую ST, па­рал­лель­ную BQ (где тогда вто­рое се­че­ние NAT. За­ме­тим, что

Вы­чис­лим:

б)  Рас­сто­я­ние между скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся пря­мы­ми NA и QB равно рас­сто­я­нию между па­рал­лель­ны­ми плос­ко­стя­ми NAT и BLQ. Най­дем его как h_Q  — вы­со­ту тет­ра­эд­ра QANT, про­ве­ден­ную из вер­ши­ны Q. Вы­чис­лим где h_A  — вы­со­та, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны A. Пусть H  — вы­со­та тет­ра­эд­ра PQMN, тогда

Вы­чис­лим те­перь пло­щадь тре­уголь­ни­ка NAT. Имеем:

Пусть далее тогда

от­ку­да а Тем самым

Ответ: а) б)

При­ме­ча­ние.

Ис­хо­дя из по­до­бия тре­уголь­ни­ков и тео­ре­мы о со­от­но­ше­нии пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков, име­ю­щих рав­ный угол, опре­де­лим от­но­ше­ние объёмов тет­ра­эд­ров, име­ю­щих рав­ный трёхгран­ный угол:

Таким об­ра­зом, от­но­ше­ние объёмов равно от­но­ше­нию про­из­ве­де­ний трёх рёбер, ис­хо­дя­щих из вер­ши­ны об­ще­го трёхгран­но­го угла каж­до­го тет­ра­эд­ра.

Ре­ше­ние. Решим не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов. Найдём корни чис­ли­те­ля и корни зна­ме­на­те­ля. Ко­рень пер­во­го мно­жи­те­ля чис­ли­те­ля:

Ко­рень вто­ро­го мно­жи­те­ля чис­ли­те­ля:

Корни зна­ме­на­те­ля:

С учётом огра­ни­че­ния, свя­зан­но­го с усло­ви­ем су­ще­ство­ва­ния ло­га­риф­ма, по­лу­ча­ем ОДЗ не­ра­вен­ства:

От­ме­тим корни и ОДЗ на оси и опре­де­лим знаки не­ра­вен­ства на по­лу­чив­ших­ся про­ме­жут­ках (см. рис.)

По­лу­ча­ем, что

Ответ:

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство и при­ме­ним метод ра­ци­о­на­ли­за­ции:

Рас­смот­рим два слу­чая.

1.  Если то си­сте­ма рав­но­силь­на не­ра­вен­ству

ко­то­рое не имеет ре­ше­ний при

2.  Если то си­сте­ма рав­но­силь­на не­ра­вен­ству

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что BE  =  EA  =  ED (как от­рез­ки ка­са­тель­ных), сле­до­ва­тель­но, BAD  — пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник и зна­чит, FD  — диа­метр, а

За­ме­тим, что тре­уголь­ник BDA по­до­бен тре­уголь­ни­ку BFD, сле­до­ва­тель­но, тогда Зна­чит, от­ку­да Таким об­ра­зом, а тогда

За­ме­тим, что тре­уголь­ник O₁BA по­до­бен тре­уголь­ни­ку O₂FA, сле­до­ва­тель­но, от­ку­да

б)  Пусть ра­ди­ус окруж­но­сти C₃ равен x. Тогда

Далее имеем:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. Введём пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат с на­ча­лом ко­ор­ди­нат в точке, где на­хо­дит­ся ме­тео­стан­ция, ось абс­цисс на­пра­вим на во­сток, ось ор­ди­нат  — на север. Тогда в мо­мент пер­во­го из­ме­ре­ния эпи­центр цик­ло­на на­хо­дил­ся в точке с ко­ор­ди­на­та­ми а во время вто­ро­го из­ме­ре­ния  — в точке с ко­ор­ди­на­та­ми По усло­вию, эпи­центр дви­га­ет­ся пря­мо­ли­ней­но. Пусть эта пря­мая за­да­на урав­не­ни­ем Найдём ко­эф­фи­ци­ен­ты k и b в урав­не­нии этой пря­мой:

Таким об­ра­зом, урав­не­ние пря­мой или Тогда наи­мень­шее рас­сто­я­ние, на ко­то­рое эпи­центр цик­ло­на при­бли­зит­ся к ме­тео­стан­ции, будет равно рас­сто­я­нию от точки до пря­мой

Ответ: км.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем си­сте­му:

Решим си­сте­му гра­фи­че­ски в ко­ор­ди­на­тах Ре­ше­ни­ем пер­во­го не­ра­вен­ства будут все точки па­ра­бо­лы и все точки плос­ко­сти, ле­жа­щие выше этой па­ра­бо­лы. Ре­ше­ни­ем вто­ро­го не­ра­вен­ства будут все точки па­ра­бо­лы и все точки плос­ко­сти, ле­жа­щие ниже этой па­ра­бо­лы.

Па­ра­бо­ла 1   — ветви вверх; вер­ши­на:

Па­ра­бо­ла 2   — ветви вниз; вер­ши­на:

Найдём точки пе­ре­се­че­ния па­ра­бол:

За­ме­тим, что А также, что Схе­ма­тич­но изоб­ра­зим па­ра­бо­лы и ре­ше­ние си­сте­мы (на ри­сун­ке вы­де­ле­но зелёным цве­том):

Един­ствен­ное ре­ше­ние си­сте­ма имеет при или До­пол­ни­тель­но от­ме­тим, что при или си­сте­ма не имеет ре­ше­ний, а при си­сте­ма имеет бес­ко­неч­но много ре­ше­ний.

Ответ:

Ре­ше­ние. Сразу за­ме­тим, что x < 2017 во всех пунк­тах. Кроме того, На­ко­нец, остат­ки от де­ле­ния на 9 у чисел x, S(x), S(S(x)), ... равны.

а)  Из вы­ше­ска­зан­но­го сле­ду­ет, что а оста­ток от де­ле­ния на 9 числа x равен 5 (толь­ко 5 + 5 дает оста­ток 1 при де­ле­нии на 9 как и 2017). Пе­ре­би­рая числа 1994, 2003, 2012, по­лу­ча­ем, что пер­вое и тре­тье под­хо­дят.

б), в) Сумма трех чисел с оди­на­ко­вы­ми остат­ка­ми от де­ле­ния на 9 все­гда крат­на трем, по­это­му такое не­воз­мож­но.

г) В силу не­ра­венств S(x) ≤ 28, S(S(x)) ≤ 10, за­клю­ча­ем, что S(S(S(x)))  — од­но­знач­ное число. Пусть оно равно m. Число 2017 при де­ле­нии на 9 дает оста­ток 1, а левая часть при де­ле­нии на 9 дает оста­ток 4m, по­это­му 4m  =  9n + 1. Един­ствен­ное воз­мож­ное зна­че­ние m  =  7, а тогда S(S(x))  =  7 и урав­не­ние при­мет вид x + S(x) + 7 + 7  =  2017, или x + S(x)  =  2003. В силу того, что S(x) не боль­ше 28, по­лу­ча­ем, что S(x) равно 7, или 16, или 25. Рас­смот­рим эти слу­чаи.

Если S(x)  =  7, то x ≤ 1600, тогда ра­вен­ство x + S(x)  =  2003 не­воз­мож­но.

Если S(x)  =  16, то x ≤ 1960, и сумма x + S(x) мень­ше 2017.

Если S(x)  =  25, то x  =  2003 − 25=1978.

Ответ: а) 1994, 2012; б), в) нет ре­ше­ний; г) 1978.