Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 531023
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство: дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 4x минус |x минус 6| пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка \log _1/3 левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка |x| пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов. Найдём корни чис­ли­те­ля и корни зна­ме­на­те­ля. Ко­рень пер­во­го мно­жи­те­ля чис­ли­те­ля:

4x минус |x минус 6|=0 рав­но­силь­но 4x=|x минус 6| рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 4x=x минус 6,4x=6 минус x, конец си­сте­мы .x\geqslant0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Ко­рень вто­ро­го мно­жи­те­ля чис­ли­те­ля:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1=0 рав­но­силь­но x плюс 4=3 рав­но­силь­но x= минус 1.

Корни зна­ме­на­те­ля:

2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка |x| пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но x в квад­ра­те =|x| рав­но­силь­но x в сте­пе­ни 4 =x в квад­ра­те рав­но­силь­но x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=0,x=\pm1. конец со­во­куп­но­сти .

 

С учётом огра­ни­че­ния, свя­зан­но­го с усло­ви­ем су­ще­ство­ва­ния ло­га­риф­ма, по­лу­ча­ем ОДЗ не­ра­вен­ства:

со­во­куп­ность вы­ра­же­ний минус 4 мень­ше x мень­ше минус 1, минус 1 мень­ше x мень­ше 0, 0 мень­ше x мень­ше 1 , x боль­ше 1 конец со­во­куп­но­сти .

От­ме­тим корни и ОДЗ на оси и опре­де­лим знаки не­ра­вен­ства на по­лу­чив­ших­ся про­ме­жут­ках (см. рис.)

По­лу­ча­ем, что 1 мень­ше x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка 1; дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство и при­ме­ним метод ра­ци­о­на­ли­за­ции:

дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 4x минус |x минус 6| пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка |x| пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 4x минус |x минус 6| пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 3 минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка |x| пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но

 

си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 4x минус |x минус 6| пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3 минус x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус |x| пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0,x плюс 4 боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 4x минус |x минус 6| пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x в сте­пе­ни 4 минус x в квад­ра­те конец дроби боль­ше или равно 0,x плюс 4 боль­ше 0. конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 4x минус |x минус 6| пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно 0,x плюс 4 боль­ше 0. конец си­сте­мы .

Рас­смот­рим два слу­чая.

1.  Если x боль­ше или равно 6, то си­сте­ма рав­но­силь­на не­ра­вен­ству

дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 3x плюс 6 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно 0,

ко­то­рое не имеет ре­ше­ний при x боль­ше или равно 6.

2.  Если минус 4 мень­ше x мень­ше 6, то си­сте­ма рав­но­силь­на не­ра­вен­ству

дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 5x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но 1 мень­ше x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Ответ: левая круг­лая скоб­ка 1; дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Обос­но­ван­но по­лу­чен ответ, от­ли­ча­ю­щий­ся от вер­но­го ис­клю­че­ни­ем точек,

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 297
Классификатор алгебры: Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства, Не­ра­вен­ства с мо­ду­ля­ми, Не­ра­вен­ства сме­шан­но­го типа, Об­ласть опре­де­ле­ния не­ра­вен­ства, По­ка­за­тель­ные урав­не­ния и не­ра­вен­ства
Методы алгебры: Метод ин­тер­ва­лов, Ра­ци­о­на­ли­за­ция не­ра­венств. Ло­га­риф­мы, Ра­ци­о­на­ли­за­ция не­ра­венств. Мо­ду­ли
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025