PDF-версии: 
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. Числитель должен быть равен нулю, а знаменатель должен быть отличен от нуля. Имеем:
Последний множитель не должен обнуляться (это знаменатель). Ни один из первых двух множителей не может обнуляться одновременно с ним, поэтому все их корни подходят. Далее:
дает 
дает 
б) В каждом наборе ответов расстояние между соседними равно 
поэтому на промежутке длиной 
без одного конца должно лежать по одному числу из каждого набора. Очевидно, подходят 
и 
Ответ: а) 
б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б) 
с ребром длины 1. Точка P — середина ребра 
точка Q делит отрезок 
в отношении 
считая от вершины А, R — точка пересечения отрезков 
и 
куба.
Тогда координаты точек будут 
и 
(это центр грани 
). Найдем уравнение плоскости PQR. Пусть это 
Подставляя координаты точек, получим систему уравнений.
Возьмем 
тогда 
Из первого уравнения тогда 
и из второго 
Итак уравнение плоскости PQR имеет вид 
или 
В частности плоскость параллельна оси OX, поэтому сечение выглядит как прямоугольник, одна из сторон которого — ребро 
лежит в этой плоскости и на диагонали 
где T — середина 
Далее, 
б) 
и 
Еще нужно обеспечить 
то есть 
Рационализируем неравенство:
и 
тогда 
прямая AC параллельна прямой TB и 
Кроме того 
и 
поэтому треугольники TBC и DCK равны по первому признаку. Значит, 
и 
являются средними линиями треугольников BDA и AKB соответственно и равны 
и 
Вычислим BD по теореме косинусов из треугольника BCD, в котором 
и 
из такого же треугольника ACK.
то 
и получаем неравенства 
и 
откуда 
и 
что невозможно.
то 
и получаем неравенства 
и 
откуда 
что невозможно.
то 
и получаем неравенства 
и 
откуда 
и 
что возможно только при 
и 
подкоренное выражение почти всегда отрицательно и корень не определен. Единственный шанс — если 
то есть ax — целое четное число, тогда и 
В таком случае подкоренное выражение равно нулю и первое уравнение принимает вид 
Подставляя это выражение в неравенство, получим:
нашлось ровно одно четное число (
иначе не определен логарифм).
то 
и четных чисел там нет.
то 
и там есть единственное четное число — двойка.
то есть два четных числа — 2 и 4.
то 
и там есть единственное четное число — четверка.
то 
и там есть минимум два четных числа.
то длина отрезка 
являются различными натуральными числами и что ее второй член в 8 раз больше первого.
если известно, что отношение является целым числом, и укажите любую пару таких ее членов.
и разность прогрессии равна 
то есть 
Сокращая на 
имеем:
то есть 
Сокращая на 
кратно 7, поэтому 
Это возможно, например, для 
— делитель 
дающий остаток 1 при делении на 7, откуда, перебирая делители этого числа, получим 
или 
В первом случае 
и 
Во втором 
и 