Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC, касается основания AC в точке D и боковой стороны AB в точке E. Точка F — середина стороны AB, а точка G — точка пересечения окружности и отрезка FD, отличная от D. Касательная к окружности, проходящая через точку G, пересекает сторону AB в точке H. Известно, что 
а) Докажите, что 
б) Найдите 
а) Оба этих угла равны половине дуги GE — первый как угол между касательной HG и хордой GE, второй — как вписанный угол, опирающийся на дугу GE.
б) Разберем два случая — точка F лежит на AE или на BE.
В первом случае прямая FD параллельна прямой BC как средняя линия треугольника. Обозначим 
тогда 
Обозначим за I центр вписанной окружности, тогда
Поскольку треугольник IGD — равнобедренный, 
тогда
(здесь использована прямая GH перпендикулярная прямой IG, поскольку GH — касательная). Тогда смежный с ним угол 
и
По свойству касательных, проведенных из одной точки, 
Пусть 
тогда по теореме синусов для треугольника FGH получаем:
поэтому 
и угол 
существует. В этом случае 
Во втором случае прямая FD параллельна прямой BC как средняя линия треугольника. Обозначим
тогда Обозначим за I центр вписанной окружности, тогда
Поскольку треугольник IGD — равнобедренный, тогда
(здесь использовано прямая GH перпендикулярна прямой IG, поскольку GH — касательная). Тогда угол
По свойству касательных, проведенных из одной точки, Пусть тогда по теореме синусов для треугольника FGH получаем 
Это то же самое уравнение, что и в случае 1, поэтому 
поэтому и угол 
не существует. Поэтому такой случай невозможен.
Ответ: 