PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 527432 
Классификатор алгебры: Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций
Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения
i
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Нужно, чтобы 
и при этом 
Первое уравнение имеет решения 
которые мы запишем тремя семействами для проверки второго условия:
подходят.
не подходят.
не подходят.
б) С помощью тригонометрического круга отберем корни. На указанном промежутке лежат: 
Ответ: а) 
б)
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 527432
а) б)
б) Классификатор алгебры: Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций
из-за подобия треугольников AHB и SOB (AH и SO — высоты пирамид). Значит, 
и искомое отношение объемов 
поэтому 
получим 
В самом деле, центр описанной сферы делит высоту тетраэра в отношении 3:1, считая от вершины, поэтому расстояние от точки М до центра сферы равно 
а радиус равен KS. Однако центр сферы, описанной вокруг тетраэдра SBCD, лежит на отрезке МВ, то есть внутри тетраэдра, а центр сферы, описанной вокруг тетраэдра SADC, лежит на продолжении отрезка МВ, то есть вне тетраэдра.
б) 
Преобразуем неравенство (учтем, что 
):
получаем 
и 
Пусть 
Поскольку окружности касаются прямой AC, прямая 
перпендикулярна прямой AC и прямая 
перпендикулярна прямой AC. Вычислим теперь углы:
имеем: 
высоту 
Тогда:
и окончательный ответ 
В данном случае равенство допустимо, поскольку производительность первой бригады не обязана быть максимальной. Значит, 
и 
то все условия будут выполнены, при этом время, требуемое второй бригаде, может быть сколь угодно велико.
поэтому оценка 18 дней неулучшаема.
В этом случае получаем:
Получаем:
тогда 
Далее:
Получим 
что верно. Поэтому 
подходит. В остальных случаях это квадратное неравенство. Для того, чтобы это неравенство выполнялось при всех 
необходимо и достаточно, чтобы оно выполнялось при 
и 
если 
то достаточно проверять первые два условия. 
то еще нужно, чтобы 
) и y во второй группе изучают только английский (тогда в первой таких 
). По условию, 
то 
Значит, 
что невозможно.
то 
дает 
что невозможно.
мы получим в каждой группе 28 человек. Взять 
нельзя, будет нецелое x. Если же увеличивать y, то будет увеличиваться и 
поэтому увеличится и 