ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д15 C4 № 527435 Добавить в вариант

В треугольнике ABC угол B равен 60°. Через точки A и B проведена окружность радиуса 3, касающаяся прямой AC в точке A. Через точки В и С проведена окружность радиуса 4, касающаяся прямой AC в точке C.

а)  Найдите длину стороны АС.

б)  Найдите длину общей хорды этих окружностей.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим центры окружностей за $O_1$ и $O_2.$ Пусть $\angle BAC= альфа .$ Поскольку окружности касаются прямой AC, прямая $O_1A$ перпендикулярна прямой AC и прямая $O_2C$ перпендикулярна прямой AC. Вычислим теперь углы:

$\angle O_1BA=\angle O_1AB=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle BAC=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа .$

$\angle O_2BC=\angle BCO_2=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle BCA=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle BAC минус \angle ABC правая круглая скобка = альфа минус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ $\angle O_2BC=\angle BCO_2=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle BCA=$
$=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle BAC минус \angle ABC правая круглая скобка = альфа минус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

$\angle O_1BO_2=\angle O_1BA плюс \angle ABC плюс \angle CBO_2=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа плюс 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс альфа минус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ $\angle O_1BO_2=\angle O_1BA плюс \angle ABC плюс \angle CBO_2=$
$=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа плюс 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс альфа минус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

а)  По теореме косинусов для треугольника $O_1BO_2$ имеем:

$O_1O_2=9 плюс 16 минус 2 умножить на 3 умножить на 4 умножить на косинус 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =37.$

Проведем в прямоугольной трапеции $O_1ACO_2$ высоту $O_1H.$ Тогда:

$O_2H=O_2C минус HC=O_2C минус O_1A=4 минус 3=1$

$AC=O_1H= корень из: начало аргумента: O_1O_2 в квадрате минус HO_2 в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 37 минус 1 конец аргумента =6.$

б)  Общая хорда двух окружностей перпендикулярна их линии центров. Поэтому она равна удвоенной высоте треугольника с вершинами в центрах окружностей и одной из их общих точек. Имеем:

$2d левая круглая скобка B,O_1O_2 правая круглая скобка =2 умножить на дробь: числитель: 2S_BO_1O_2, знаменатель: O_1O_2 конец дроби = дробь: числитель: 4S_BO_1O_2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 37 конец аргумента конец дроби$

Для нахождения площади треугольника используем формулу Герона в раскрытом виде:

$16S в квадрате =2 умножить на 9 умножить на 16 плюс 2 умножить на 9 умножить на 37 плюс 2 умножить на 37 умножить на 16 минус 16 в квадрате минус 9 в квадрате минус 37 в квадрате =432,$

откуда $S=3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ и окончательный ответ $дробь: числитель: 12 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: 37 конец аргумента конец дроби .$

Ответ: а) 6; б) $дробь: числитель: 12 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: 37 конец аргумента конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б	3
Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 260

Методы геометрии: Свойства хорд, Теорема косинусов

Классификатор планиметрии: Окружности, Окружности и системы окружностей

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь