СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 527435

В треугольнике ABC угол B равен 60°. Через точки A и B проведена окружность радиуса 3, касающаяся прямой AC в точке A. Через точки В и С проведена окружность радиуса 4, касающаяся прямой AC в точке C.

а) Найдите длину стороны АС.

б) Найдите длину общей хорды этих окружностей.

Решение.

Обозначим центры окружностей за и Пусть Поскольку окружности касаются прямой AC, прямая перпендикулярна прямой AC и прямая перпендикулярна прямой AC. Вычислим теперь углы:

а) По теореме косинусов для треугольника имеем:

Проведем в прямоугольной трапеции высоту Тогда:

и

б) Общая хорда двух окружностей перпендикулярна их линии центров. Поэтому она равна удвоенной высоте треугольника с вершинами в центрах окружностей и одной из их общих точек. Имеем:

Для нахождения площади треугольника используем формулу Герона в раскрытом виде:

откуда и окончательный ответ

 

Ответ: а) 6; б)

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 260.
Методы геометрии: Свойства хорд, Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Окружности, Окружности и системы окружностей