Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 527435

В треугольнике ABC угол B равен 60°. Через точки A и B проведена окружность радиуса 3, касающаяся прямой AC в точке A. Через точки В и С проведена окружность радиуса 4, касающаяся прямой AC в точке C.

а) Найдите длину стороны АС.

б) Найдите длину общей хорды этих окружностей.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим центры окружностей за O_1 и O_2. Пусть \angle BAC= альфа . Поскольку окружности касаются прямой AC, прямая O_1A перпендикулярна прямой AC и прямая O_2C перпендикулярна прямой AC. Вычислим теперь углы:

\angle O_1BA=\angle O_1AB=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle BAC=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа .

\angle O_2BC=\angle BCO_2=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle BCA=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle BAC минус \angle ABC правая круглая скобка = альфа минус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .

\angle O_1BO_2=\angle O_1BA плюс \angle ABC плюс \angle CBO_2=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа плюс 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс альфа минус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .

а) По теореме косинусов для треугольника O_1BO_2 имеем:

O_1O_2=9 плюс 16 минус 2 умножить на 3 умножить на 4 умножить на косинус 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =37.

Проведем в прямоугольной трапеции O_1ACO_2 высоту O_1H. Тогда:

O_2H=O_2C минус HC=O_2C минус O_1A=4 минус 3=1

и

AC=O_1H= корень из O_1O_2 в квадрате минус HO_2 в квадрате = корень из 37 минус 1=6.

б) Общая хорда двух окружностей перпендикулярна их линии центров. Поэтому она равна удвоенной высоте треугольника с вершинами в центрах окружностей и одной из их общих точек. Имеем:

2d левая круглая скобка B,O_1O_2 правая круглая скобка =2 умножить на дробь: числитель: 2S_BO_1O_2, знаменатель: O_1O_2 конец дроби = дробь: числитель: 4S_BO_1O_2, знаменатель: корень из 37 конец дроби

Для нахождения площади треугольника используем формулу Герона в раскрытом виде:

16S в квадрате =2 умножить на 9 умножить на 16 плюс 2 умножить на 9 умножить на 37 плюс 2 умножить на 37 умножить на 16 минус 16 в квадрате минус 9 в квадрате минус 37 в квадрате =432,

откуда S=3 корень из 3 и окончательный ответ  дробь: числитель: 12 корень из 3, знаменатель: корень из 37 конец дроби .

 

Ответ: а) 6; б)  дробь: числитель: 12 корень из 3, знаменатель: корень из 37 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б3
Получен обоснованный ответ в пункте б

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 260.