Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д17 C6 № 527437
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых не­ра­вен­ство

4a в квад­ра­те умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 минус дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби арк­си­нус левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та плюс дробь: чис­ли­тель: 12a, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби арк­ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка минус 8a в квад­ра­те минус 3a\leqslant1

вы­пол­ня­ет­ся для любых x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Имеем:

x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ;

2x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ;

арк­ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ;

арк­си­нус левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус арк­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка = арк­ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;

дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби арк­ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 1;4 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Обо­зна­чим t= дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби арк­ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка , t минус 3= дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби арк­си­нус левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка . По­лу­ча­ем:

4a в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 минус t конец ар­гу­мен­та плюс 2at минус 8a в квад­ра­те минус 3a минус 1 мень­ше или равно 0.

Пусть те­перь ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 минус t конец ар­гу­мен­та =y при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 1;2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , тогда t=5 минус y в квад­ра­те . Далее:

4a в квад­ра­те y плюс 2a левая круг­лая скоб­ка 5 минус y в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка минус 8a в квад­ра­те минус 3a минус 1 мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но минус 2ay в квад­ра­те плюс 4a в квад­ра­те y минус 8a в квад­ра­те плюс 7a минус 1 мень­ше или равно 0.

Сразу раз­бе­рем слу­чай a=0. По­лу­чим минус 1 мень­ше или равно 0, что верно. По­это­му a=0 под­хо­дит. В осталь­ных слу­ча­ях это квад­рат­ное не­ра­вен­ство. Для того, чтобы это не­ра­вен­ство вы­пол­ня­лось при всех y при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 1;2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно вы­пол­ня­лось при y=1, y=2 и y= дробь: чис­ли­тель: минус 4a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: минус 4a конец дроби =a, если a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 1;2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Слу­чай 1. Если a\not при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 1;2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , то до­ста­точ­но про­ве­рять пер­вые два усло­вия.

минус 2a плюс 4a в квад­ра­те минус 8a в квад­ра­те плюс 7a минус 1= минус 4a в квад­ра­те плюс 5a минус 1= минус левая круг­лая скоб­ка 4a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0, a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 1; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка ;

минус 8a плюс 8a в квад­ра­те минус 8a в квад­ра­те плюс 7a минус 1= минус левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0, a боль­ше или равно минус 1.

Итак, под­хо­дят a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Слу­чай 2. Если a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 1;2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , то еще нужно, чтобы

минус 2a в кубе плюс 4a в кубе минус 8a в квад­ра­те плюс 7a минус 1=2a в кубе минус 8a в квад­ра­те плюс 7a минус 1= левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2a в квад­ра­те минус 6a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0.

На всем этом про­ме­жут­ке пер­вый мно­жи­тель не­от­ри­ца­те­лен, а вто­рой не­по­ло­жи­те­лен, не­ра­вен­ство вы­пол­не­но.

 

Ответ: a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 1; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ре­ше­нии до­пу­ще­на вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка или оно не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ходе ре­ше­ния до­пу­ще­на одна ошиб­ка, от­лич­ная от вы­чис­ли­тель­ной 2
По­лу­че­ны не­ко­то­рые вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, од­на­ко ре­ше­ние со­дер­жит более одной ошиб­ки1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 260
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с па­ра­мет­ром
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025