Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д17 C6 № 527437

Найдите все значения параметра a, при которых неравенство

4a в квадрате умножить на корень из 2 минус дробь: числитель: 6, знаменатель: Пи конец дроби арксинус левая круглая скобка корень из 3 минус 2x правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 12a, знаменатель: Пи конец дроби арккосинус левая круглая скобка 2x минус корень из 3 правая круглая скобка минус 8a в квадрате минус 3a\leqslant1

выполняется для любых x принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: 2 корень из 3 минус 1, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 3 корень из 3, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

Имеем:

x принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: 2 корень из 3 минус 1, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 3 корень из 3, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка ;

2x минус корень из 3 принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: минус 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ;

 арккосинус левая круглая скобка 2x минус корень из 3 правая круглая скобка принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка ;

 арксинус левая круглая скобка корень из 3 минус 2x правая круглая скобка = минус арксинус левая круглая скобка 2x минус корень из 3 правая круглая скобка = арккосинус левая круглая скобка 2x минус корень из 3 правая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;

 дробь: числитель: 6, знаменатель: Пи конец дроби арккосинус левая круглая скобка 2x минус корень из 3 правая круглая скобка принадлежит левая квадратная скобка 1;4 правая квадратная скобка .

Обозначим t= дробь: числитель: 6, знаменатель: Пи конец дроби арккосинус левая круглая скобка 2x минус корень из 3 правая круглая скобка , t минус 3= дробь: числитель: 6, знаменатель: Пи конец дроби арксинус левая круглая скобка корень из 3 минус 2x правая круглая скобка . Получаем:

4a в квадрате корень из 5 минус t плюс 2at минус 8a в квадрате минус 3a минус 1 меньше или равно 0.

Пусть теперь  корень из 5 минус t=y принадлежит левая квадратная скобка 1;2 правая квадратная скобка , тогда t=5 минус y в квадрате . Далее:

4a в квадрате y плюс 2a левая круглая скобка 5 минус y в квадрате правая круглая скобка минус 8a в квадрате минус 3a минус 1 меньше или равно 0 равносильно минус 2ay в квадрате плюс 4a в квадрате y минус 8a в квадрате плюс 7a минус 1 меньше или равно 0.

Сразу разберем случай a=0. Получим  минус 1 меньше или равно 0, что верно. Поэтому a=0 подходит. В остальных случаях это квадратное неравенство. Для того, чтобы это неравенство выполнялось при всех y принадлежит левая квадратная скобка 1;2 правая квадратная скобка необходимо и достаточно, чтобы оно выполнялось при y=1, y=2 и y= дробь: числитель: минус 4a в квадрате , знаменатель: минус 4a конец дроби =a, если a принадлежит левая квадратная скобка 1;2 правая квадратная скобка .

Случай 1. Если a\not принадлежит левая квадратная скобка 1;2 правая квадратная скобка , то достаточно проверять первые два условия.

 минус 2a плюс 4a в квадрате минус 8a в квадрате плюс 7a минус 1= минус 4a в квадрате плюс 5a минус 1= минус левая круглая скобка 4a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 0, a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 1; бесконечность правая круглая скобка ;

 минус 8a плюс 8a в квадрате минус 8a в квадрате плюс 7a минус 1= минус левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0, a больше или равно минус 1.

Итак, подходят a принадлежит левая квадратная скобка минус 1; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2; бесконечность правая круглая скобка .

Случай 2. Если a принадлежит левая квадратная скобка 1;2 правая квадратная скобка , то еще нужно, чтобы

 минус 2a в кубе плюс 4a в кубе минус 8a в квадрате плюс 7a минус 1=2a в кубе минус 8a в квадрате плюс 7a минус 1= левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2a в квадрате минус 6a плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0.

На всем этом промежутке первый множитель неотрицателен, а второй неположителен, неравенство выполнено.

 

Ответ: a принадлежит левая квадратная скобка минус 1; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 1; бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной 2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 260.
Классификатор алгебры: Неравенства с параметром