Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние в од­но­род­ное и решим его:

б)  С по­мо­щью три­го­но­мет­ри­че­ско­го круга от­бе­рем корни, учи­ты­вая что

На ука­зан­ном про­ме­жут­ке лежат:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. По­сколь­ку пря­мая AS пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AB, пря­мая BC пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AB и то

Вве­дем ко­ор­ди­на­ты с на­ча­лом в точке B и осями, на­прав­лен­ны­ми по BC, BA и пер­пен­ди­ку­ля­ру к ABC. Тогда ко­ор­ди­на­ты вер­шин будут Про­ек­ция луча AS на плос­кость ABC  — луч, про­хо­дя­щий через A пер­пен­ди­ку­ляр­но AB, по­это­му y-ко­ор­ди­на­та точки S равна 4. От­но­ше­ние ее x и z  — ко­ор­ди­нат равно ко­тан­ген­су угла между лучом AS и его про­ек­ции, то есть Не­труд­но ви­деть, что для за­да­чи со­вер­шен­но не­важ­но. где имен­но на луче рас­по­ло­же­на точка S, по­это­му мы можем вы­брать ко­ор­ди­на­ты про­из­воль­но. Пусть

а)  Най­дем урав­не­ние плос­ко­сти ASC. Пусть оно имеет вид тогда, под­став­ляя в него ко­ор­ди­на­ты точек, по­лу­чим

Пусть тогда из пер­вых двух урав­не­ний а из по­след­не­го:

До­мно­жая урав­не­ние на 3 по­лу­чим:

Урав­не­ние плос­ко­сти ABC это По­это­му:

Знак вы­бран так, чтобы ответ был от­ри­ца­тель­ным, по­сколь­ку про­ек­ция точки S на плос­кость ос­но­ва­ния на­хо­дит­ся по дру­гую сто­ро­ну от пря­мой AC не­же­ли точка B, по­это­му угол будет тупым.

б)  Рас­сто­я­ние от B до плос­ко­сти ASC со­став­ля­ет

Ответ: a) б)

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим тогда не­ра­вен­ство при­мет вид то есть

Пе­рейдём к ос­нов­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. По­сколь­ку

угол ABC  — тупой. Зна­чит, осталь­ные углы тре­уголь­ни­ка ост­рые. Вы­со­та ромба равна удво­ен­но­му ра­ди­у­су окруж­но­сти, по­это­му Тогда из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков EHC и EGA по­лу­ча­ем По­это­му:

По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC по­лу­ча­ем от­ку­да и

б)  Цен­тры обеих окруж­но­стей лежат на бис­сек­три­се угла B. Кроме того, центр впи­сан­ной окруж­но­сти ромба лежит на BE, Зна­чит, это и есть бис­сек­три­са. Оче­вид­но этот центр  — се­ре­ди­на BE. Про­ве­дем те­перь бис­сек­три­су угла C (она прой­дет через центр впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка). Она по­де­лит BE в от­но­ше­нии

По­это­му рас­сто­я­ние от цен­тра впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка до B равно и рас­сто­я­ние между цен­тра­ми равно:

Вы­чис­лим те­перь BE из тре­уголь­ни­ка BCE по тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

Окон­ча­тель­но:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. До­пу­стим ему долж­ны были вер­нуть x руб­лей и y ко­пе­ек, а вер­ну­ли на­о­бо­рот. По усло­вию:

Зна­чит, де­лит­ся на 100, при этом По­это­му воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ва­ри­ан­ты

при от­ку­да Зна­чит, его по­куп­ки сто­и­ли

Ответ: 69 руб­лей 43 ко­пей­ки.

Ре­ше­ние. Ясно, что не под­хо­дят в урав­не­ние, а при имеем

Обо­зна­чая

Если то ко­рень по­ло­жи­те­лен.

Если то вы­брав по­ло­жи­тель­ное b так чтобы мы по­лу­чим урав­не­ние, у ко­то­ро­го во­об­ще нет кор­ней.

Если то урав­не­ние имеет ко­рень

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Нет. Как из­вест­но, число и его сумма цифр дают оди­на­ко­вые остат­ки от де­ле­ния на 9, по­это­му все числа, по­лу­ча­е­мые после пер­во­го вы­чи­та­ния, будут крат­ны 9.

б)  Ясно что все од­но­знач­ные числа под­хо­дят. Числа на­чи­ная с дву­знач­ных не могут быть равны своей сумме цифр, по­сколь­ку при за­пи­си их в виде суммы раз­ряд­ных сла­га­е­мых каж­дое сла­га­е­мое будет не мень­ше со­от­вет­ству­ю­щей цифры, а пер­вое  — даже стро­го боль­ше:

в)  Если в числе n цифр, то его сумма цифр (и всех по­лу­ча­е­мы­хиз него чисел) не боль­ше а само оно не мень­ше по­это­му ре­зуль­тат будет не мень­ше

Ясно, что это по­ло­жи­тель­но при по­это­му число не может быть че­ты­рех­знач­ным или иметь еще боль­ше цифр. Если число не более чем трех­знач­ное, то вы­чи­та­ет­ся каж­дый раз не более чем 27, по­это­му все такие числа не пре­вос­хо­дят После пер­во­го же вы­чи­та­ния число будет крат­но 9. Со­ста­вим пол­ную таб­ли­цу таких чисел и ре­зуль­та­тов дей­ствий с ними:

(180 пре­вра­ща­ет­ся в 171 и далее сле­ду­ет по этой це­поч­ке).

Итак, на по­след­нем шаге долж­но по­лу­чить­ся 90 или 99  — лишь из них 0 по­лу­ча­ет­ся ровно за 10 шагов. Если взять дву­знач­ное число, то 99 из него точно не вый­дет, и 90 тоже  — оно долж­но быть боль­ше 90, его пер­вая цифра 9, Зна­чит, сумма цифр не мень­ше 10, Зна­чит, оно не мень­ше Итак, это трех­знач­ное число, не пре­вос­хо­дя­щее (боль­ше 27 не вы­честь). Обо­зна­чим его цифры за 1, a, b. По­лу­чим:

Сле­до­ва­тель­но, Зна­чит, под­хо­дят все числа от 100 до 109. (Здесь мы счи­та­ли, что число долж­но об­ну­лить­ся ровно за 11 опе­ра­ций).

Ответ: а) нет; б) 1, 2, ..., 9; в) 100, 101, ..., 109.