а)  Нет. Как из­вест­но, число и его сумма цифр дают оди­на­ко­вые остат­ки от де­ле­ния на 9, по­это­му все числа, по­лу­ча­е­мые после пер­во­го вы­чи­та­ния, будут крат­ны 9.

б)  Ясно что все од­но­знач­ные числа под­хо­дят. Числа на­чи­ная с дву­знач­ных не могут быть равны своей сумме цифр, по­сколь­ку при за­пи­си их в виде суммы раз­ряд­ных сла­га­е­мых каж­дое сла­га­е­мое будет не мень­ше со­от­вет­ству­ю­щей цифры, а пер­вое  — даже стро­го боль­ше:

в)  Если в числе n цифр, то его сумма цифр (и всех по­лу­ча­е­мы­хиз него чисел) не боль­ше а само оно не мень­ше по­это­му ре­зуль­тат будет не мень­ше

Ясно, что это по­ло­жи­тель­но при по­это­му число не может быть че­ты­рех­знач­ным или иметь еще боль­ше цифр. Если число не более чем трех­знач­ное, то вы­чи­та­ет­ся каж­дый раз не более чем 27, по­это­му все такие числа не пре­вос­хо­дят После пер­во­го же вы­чи­та­ния число будет крат­но 9. Со­ста­вим пол­ную таб­ли­цу таких чисел и ре­зуль­та­тов дей­ствий с ними:

(180 пре­вра­ща­ет­ся в 171 и далее сле­ду­ет по этой це­поч­ке).

Итак, на по­след­нем шаге долж­но по­лу­чить­ся 90 или 99  — лишь из них 0 по­лу­ча­ет­ся ровно за 10 шагов. Если взять дву­знач­ное число, то 99 из него точно не вый­дет, и 90 тоже  — оно долж­но быть боль­ше 90, его пер­вая цифра 9, Зна­чит, сумма цифр не мень­ше 10, Зна­чит, оно не мень­ше Итак, это трех­знач­ное число, не пре­вос­хо­дя­щее (боль­ше 27 не вы­честь). Обо­зна­чим его цифры за 1, a, b. По­лу­чим:

Сле­до­ва­тель­но, Зна­чит, под­хо­дят все числа от 100 до 109. (Здесь мы счи­та­ли, что число долж­но об­ну­лить­ся ровно за 11 опе­ра­ций).

Ответ: а) нет; б) 1, 2, ..., 9; в) 100, 101, ..., 109.