Ре­ше­ние. а)  Решим урав­не­ние :

Те­перь решим урав­не­ние :

На­ко­нец, чтобы вто­рой мно­жи­тель был опре­де­лен, нужно чтобы

по­это­му из ре­ше­ний пер­во­го урав­не­ния под­хо­дит лишь

б)  Ясно, что не лежит на нуж­ном от­рез­ке, а

Ответ а) б)

Ре­ше­ние. Вве­дем ко­ор­ди­на­ты с на­ча­лом в точке A и осями, на­прав­лен­ны­ми вдоль AD, AB, со­от­вет­ствен­но. Тогда ко­ор­ди­на­ты точек будут та­ки­ми  —

а)  Урав­не­ние пря­мой MN это Урав­не­ние пря­мой AK это (по­след­нее ра­вен­ство по­ни­ма­ет­ся так  — у всех точек на этой пря­мой ко­ор­ди­на­та по оси z равна нулю). Най­дем век­тор Нужно чтобы и Возь­мем, на­при­мер, Зна­чит, плос­кость па­рал­лель­на обеим пря­мым. Вы­бе­рем D так, чтобы плос­кость со­дер­жа­ла пря­мую AK. Под­став­ляя ко­ор­ди­наы точки A, по­лу­чим Итак, плос­кость со­дер­жит пря­мую AK и па­рал­лель­на пря­мой MN. Най­дем те­перь рас­сто­я­ние от точки N до этой плос­ко­сти, это и будет тре­бу­е­мое рас­сто­я­ние. Имеем:

б)  Най­дем урав­не­ние плос­ко­сти MNK. Пусть оно имеет вид Под­став­ляя ко­ор­ди­на­ты точек, по­лу­чим три усло­вия про A, B, C, D:

Возь­мем в пер­вом урав­не­нии Тогда из вто­ро­го урав­не­ния тогда и, на­ко­нец, из по­след­не­го Урав­не­ние плос­ко­сти будет

До­мно­жим его для удоб­ства на 2 и по­лу­чим Ко­ор­ди­на­ты точки это по­это­му рас­сто­я­ние от до MNK будет равно

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. Най­дем ОДЗ не­ра­вен­ства и пре­об­ра­зу­ем его:

От­сю­да ОДЗ не­ра­вен­ства На ОДЗ не­ра­вен­ство можно пре­об­ра­зо­вать так:

Ра­ци­о­на­ли­зи­ру­ем:

Учи­ты­вая ОДЗ, по­лу­ча­ем окон­ча­тель­но:

Ответ:

Ре­ше­ние. По­сколь­ку ра­ди­ус OK дол­жен быть пер­пен­ди­ку­ля­рен BC, K  — ос­но­ва­ние вы­со­ты из вер­ши­ны A, по­это­му O  — се­ре­ди­на вы­со­ты. Обо­зна­чим за H ос­но­ва­ние вы­со­ты тре­уголь­ни­ка ABC, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны B. Тогда в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке AOM от­ре­зок OH  — вы­со­та, по­это­му и ме­ди­а­на. Обо­зна­чим (из того, что ).

а)  По­сколь­ку угол AMK опи­ра­ет­ся на диа­метр окруж­но­сти, он пря­мой и пря­мая KM па­рал­лель­на пря­мой BH, по­это­му тре­уголь­ни­ки CKM и CBH по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том от­ку­да

б)  По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка OMH по­лу­ча­ем

В тре­уголь­ни­ке KMA от­ре­зок OH  — сред­няя линия, по­это­му а из по­до­бия тре­уголь­ни­ков CKM и CBH сле­ду­ет, что

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка BHC по­лу­ча­ем

Вы­чис­лим пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC двумя спо­со­ба­ми и при­рав­ня­ем по­лу­чен­ные вы­ра­же­ния.

Зна­чит, и

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC по­лу­ча­ем

по­это­му

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. При­быль на пе­че­нье пер­во­го вида равна 5 тысяч руб­лей, на пе­че­нье вто­ро­го вида  — 6 тысяч. Пусть пе­че­нья пер­во­го вида про­из­ве­де­но x цент­не­ров, тогда пе­че­нья вто­ро­го вида еще можно про­из­ве­сти Зна­чит, ито­го­вая при­быль со­ста­вит

От­сю­да ясно, что чем мень­ше x, тем боль­ше будет при­быль. Ми­ни­маль­но воз­мож­ное x это 6, для него при­быль со­ста­вит 489 тысяч.

Ответ: 489000.

Ре­ше­ние. Пусть Урав­не­ние све­дет­ся к Решим его:

Оба они под­хо­дят в урав­не­ние (эту про­вер­ку надо де­лать, ино­гда при воз­ве­де­нии в квад­рат по­лу­ча­ют­ся по­сто­рон­ние корни). Под­ста­вим их те­перь в из­на­чаль­ное урав­не­ние и вы­яс­ним, го­дят­ся ли они туда и при дру­гих a.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  На­при­мер,

б)  Ясно, что n де­лит­ся на 343, а его про­из­ве­де­ние цифр крат­но 160, то есть среди его цифр есть пя­тер­ка, а про­из­ве­де­ние осталь­ных де­лит­ся на 32. Вы­пи­шем все че­ты­рех­знач­ные числа, крат­ные 343, от до 1029, 1372, 1715, 2058, 2401, 2744, 3087, 3430, 3773, 4116, 4459, 4802, 5145, 5488, 5831, 6174, 6517, 6860, 7203, 7546, 7889, 8232, 8575, 8918, 9261, 9604, 9947. Остав­ля­ем числа с пя­тер­кой и без нуля: 1715, 4459, 5145, 5488, 5831, 6517, 7546, 8575. Из них толь­ко де­лит­ся на 32. Но

в)  До­ба­вим к пя­тер­ке три цифры, про­из­ве­де­ние ко­то­рых крат­но 32. По­лу­чим такие на­бо­ры:

− 5, 8, 8, x, число n долж­но со­кра­тить­ся на

− 5, 8, 4, x, число n долж­но со­кра­тить­ся на x;

− 5, 8, 2, 2; 5, 8, 6, 2; 5, 8, 6, 6; число n долж­но со­кра­тить­ся на 1, 3 или 9 со­от­вет­ствен­но;

− 5, 4, 4, 4, число n долж­но со­кра­тить­ся на 2;

− 5, 4, 4, 2; 5, 4, 4, 6, число n долж­но со­кра­тить­ся на 1 или 3 со­от­вет­ствен­но.

Раз­бе­рем эти слу­чаи. Сразу от­ме­тим, что по­это­му все от­ве­ты, боль­шие этого, можно от­бра­сы­вать сразу. По­это­му все ва­ри­ан­ты с со­кра­ще­ни­ем на 1, 2, 3, пе­ре­чис­лен­ные в конце, сразу не под­хо­дят  — они оста­вят чис­ли­тель, боль­ший 489. Со­кра­ще­ние на 9 числа из цифр 5, 8, 6, 6 не­воз­мож­но по при­зна­ку де­ли­мо­сти на 9. Далее:

− 5, 8, 8, 1 с со­кра­ще­ни­ем на 2 даст не мень­ше

− 5, 8, 8, 2 с со­кра­ще­ни­ем на 4 даст не мень­ше

− 5, 8, 8, 3 с со­кра­ще­ни­ем на 6 даст не мень­ше

− 5, 8, 8, 4 с со­кра­ще­ни­ем на 8 даст не мень­ше

− 5, 8, 8, 5 с со­кра­ще­ни­ем на 10 даст не мень­ше

− 5, 8, 8, 6 с со­кра­ще­ни­ем на 12: 5688 крат­но 24, про­чие дадут не мень­ше

− 5, 8, 8, 7 с со­кра­ще­ни­ем на 14: 5788, 5878, 5887 не крат­ны 14, про­чие дадут не мень­ше

− 5, 8, 8, 8 с со­кра­ще­ни­ем на 16: толь­ко 5888 крат­но 16, но оно крат­но и 32;

− 5, 8, 8, 9 с со­кра­ще­ни­ем на 18 не­воз­мож­но по при­зна­ку де­ли­мо­сти на 9;

− 5, 8, 4, x с со­кра­ще­ни­ем на x при пер­вой цифре x даст не менее 1000, а при пер­вой цифре 4 даст не менее при Если же то число из цифр 5, 8, 4, 9 не де­лит­ся на 9.

Ответ: а) 3858; б) нет; в)