Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние, ис­поль­зуя пе­ри­о­дич­ность три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций с пе­ри­о­дом фор­му­лы при­ве­де­ния и двой­но­го угла:

Либо либо

б)  По­сколь­ку

на ука­зан­ном от­рез­ке лежат и

Ответ: а) б) и

Ре­ше­ние. Пусть M  — се­ре­ди­на AB, а K  — такая точка в плос­ко­сти ос­но­ва­ния, что тогда вто­рая плос­кость про­хо­дит через точку K. Зна­чит, един­ствен­ные ребра пи­ра­ми­ды, ко­то­рые она может пе­ре­сечь  — это SA и SC (BK явно пе­ре­се­ка­ет про­дол­же­ние CA, а осталь­ные ребра плос­кость пе­ре­се­ка­ет в точке B). Плос­кость, со­дер­жа­щая CM, пе­ре­се­ка­ет либо SA, либо SB (вто­рой ва­ри­ант не­воз­мо­жен, тогда вто­рая плос­кость даст се­че­ние из одной точки). По­сколь­ку плос­ко­сти па­рал­лель­ны, они об­ра­зу­ют рав­ные углы с плос­ко­стью ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, Зна­чит, пло­ща­ди про­ек­ций се­че­ний на плос­кость ос­но­ва­ния долж­ны быть равны. Про­ек­ци­ей пер­во­го се­че­ния будет тре­уголь­ник AMC, име­ю­щий пло­щадь, рав­ную по­ло­ви­не пло­ща­ди ос­но­ва­ния. Про­ек­ци­ей вто­ро­го се­че­ния будет тре­уголь­ник BAT, где T  — про­ек­ция точки пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти се­че­ния с реб­ром SC на ребро AC. Зна­чит, T долж­на ока­зать­ся се­ре­ди­ной AC, по­это­му вто­рое се­че­ние про­хо­дит через се­ре­ди­ну CS (точку N).

Пусть O  — се­ре­ди­на SM. Тогда пря­мая NO па­рал­лель­на пря­мой CM как сред­няя линия тре­уголь­ни­ка SCM. Зна­чит, O лежит во вто­рой плос­ко­сти. Про­длим BO до пе­ре­се­че­ния с SA в точке Q. Далее, BQN  — ис­ко­мое се­че­ние вто­рой плос­ко­стью. Про­ве­дем те­перь через M пря­мую, па­рал­лель­ную BQ, и обо­зна­чим за P ее пе­ре­се­че­ние с от­рез­ком SA (оче­вид­но P  — се­ре­ди­на AQ). Тога се­че­ние пер­вой плос­ко­стью это MPC.

По тео­ре­ме Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ASM и пря­мой QOB имеем: от­ку­да Зна­чит, точки P и Q делят AS на три рав­ные части.

а)  Имеем:

Между плос­ко­стя­ми на­хо­дит­ся осталь­ная часть объ­е­ма, то есть

б)  По­сколь­ку P  — се­ре­ди­на от­рез­ка AQ, имеем:

Най­дем сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка PMC, а затем его пло­щадь. Имеем:

Итак, тре­уголь­ник рав­но­сто­рон­ний, по­это­му его пло­щадь равна

На­ко­нец, ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. Если то при де­ле­нии на х знак не­ра­вен­ства не ме­ня­ет­ся:

При не­ра­вен­ство об­ра­ща­ет­ся в ра­вен­ство.

На­ко­нец, при по­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим концы диа­мет­ра за D и E, ос­но­ва­ние вы­со­ты тре­уголь­ни­ка ABC, про­ве­ден­ной из C, за H, ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра из O к AB за T, центр впи­сан­ной окруж­но­сти ABC за I. Пусть, далее, Тогда

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка OTA по­лу­ча­ем тогда:

а)  Имеем:

б)  По­сколь­ку CI  — бис­сек­три­са угла ACB,

Далее, ##

а

по свой­ствам окруж­но­сти, впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник.

На­ко­нец,

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ICO по­лу­чим:

Ответ: а) 40; б)

Ре­ше­ние. По­сколь­ку мо­то­цикл до­ро­же ску­те­ра, нужно вы­пу­стить мак­си­маль­но воз­мож­ное ко­ли­че­ство мо­то­цик­лов. По­это­му нужно вы­пу­стить 50 мо­то­цик­лов и 25 ску­те­ров.

Ответ: 50 мо­то­цик­лов и 25 ску­те­ров.

Ре­ше­ние. До­мно­жим не­ра­вен­ство на По­лу­чим:

При по­лу­ча­ем что верно толь­ко при При таких x мно­жи­тель не­от­ри­ца­те­лен, оста­ет­ся лишь вы­яс­нить, для каких из этих зна­че­ний x будет все­гда не­от­ри­ца­те­лен и вто­рой мно­жи­тель, рав­ный Ясно, что при он все­гда не­от­ри­ца­те­лен, а при долж­но вы­пол­нять­ся усло­вие то есть

Най­дем наи­мень­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния при Имеем:

Зна­чит, про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на при и по­ло­жи­тель­на при Итак, наи­мень­шее зна­че­ние будет при и равно

Итак, если то можно взять и усло­вие на­ру­шит­ся. А если то вто­рая скоб­ка будет по­ло­жи­тель­на при любом a. Итак, нужно чтобы Окон­ча­тель­но:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Да, на­при­мер, 99.

б)  Пусть цифры числа равны a и b, тогда число равно а удво­ен­ное число равно Зна­чит, его сумма цифр равна числу воз­мож­но, умень­шен­но­му на 9 или 18 (если при умно­же­нии числа на 2 про­изо­шли один или два пе­ре­но­са). Рас­смот­рим все ва­ри­ан­ты:

дает что не­воз­мож­но;

дает что не­воз­мож­но для чет­ных цифр;

дает от­ку­да что не­воз­мож­но для чет­ных цифр.

Сле­до­ва­тель­но, это не­воз­мож­но.

в)  Как и в преды­ду­щем пунк­те, обо­зна­чим цифры числа бук­ва­ми a, b, c. Воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ва­ри­ан­ты.

Пер­вый: от­ку­да что не­воз­мож­но.

Вто­рой: от­ку­да и ровно одна из цифр не мень­ше 5 (чтобы был пе­ре­нос). Это дает ва­ри­ан­ты или Пер­вые три цифры при рас­ста­нов­ке их в раз­ном по­ряд­ке дают 6 чисел, вто­рые три  — еще три числа.

Тре­тий: от­ку­да что не­воз­мож­но для трех не­чет­ных цифр;

Чет­вер­тый: от­ку­да число 999 под­хо­дит.

Итого есть 10 под­хо­дя­щих чисел.

Ответ: a) да; б) нет; в) 10.