Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д17 C6 № 527314
i

При каких зна­че­ни­ях x не равно 0, не­ра­вен­ство

x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те a, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те плюс a в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус x левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те a, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те плюс a в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \geqslant0

вы­пол­ня­ет­ся при любых зна­че­ни­ях a.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

До­мно­жим не­ра­вен­ство на x в квад­ра­те плюс a в квад­ра­те боль­ше 0. По­лу­чим:

левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс a в квад­ра­те минус x в квад­ра­те a пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0.

При a=0 по­лу­ча­ем левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те боль­ше или равно 0, что верно толь­ко при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ;0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 1; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . При таких x мно­жи­тель x в квад­ра­те минус x не­от­ри­ца­те­лен, оста­ет­ся лишь вы­яс­нить, для каких из этих зна­че­ний x будет все­гда не­от­ри­ца­те­лен и вто­рой мно­жи­тель, рав­ный x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 1 минус a пра­вая круг­лая скоб­ка плюс a в квад­ра­те . Ясно, что при a мень­ше или равно 1 он все­гда не­от­ри­ца­те­лен, а при a боль­ше 1 долж­но вы­пол­нять­ся усло­вие x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 1 минус a пра­вая круг­лая скоб­ка плюс a в квад­ра­те боль­ше или равно 0, то есть x в квад­ра­те мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: a минус 1 конец дроби .

Най­дем наи­мень­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния f левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: a минус 1 конец дроби при a боль­ше 1. Имеем:

f' левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2a левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: a левая круг­лая скоб­ка a минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби .

Зна­чит, про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на при a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 1;2 пра­вая круг­лая скоб­ка и по­ло­жи­тель­на при a боль­ше 2. Итак, наи­мень­шее зна­че­ние будет при a=2 и равно f левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =4.

Итак, если x в квад­ра­те боль­ше 4, то можно взять a=2 и усло­вие на­ру­шит­ся. А если x в квад­ра­те мень­ше или равно 4, то вто­рая скоб­ка будет по­ло­жи­тель­на при любом a. Итак, нужно чтобы x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2;2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Окон­ча­тель­но: x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2;0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 1;2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

Ответ: x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2;0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 1;2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
По­лу­чен вер­ный ответ. Ре­ше­ние в целом вер­ное. Обос­но­ва­но най­де­ны оба про­ме­жут­ка зна­че­ний па­ра­мет­ра из от­ве­та к за­да­че, при этом воз­мож­ны не­точ­но­сти с (не)вклю­че­ни­ем кон­цов и(или) вы­чис­ли­тель­ная по­греш­ность.3
Обос­но­ва­но най­ден хотя бы один про­ме­жу­ток зна­че­ний па­ра­мет­ра из от­ве­та к за­да­че, при этом воз­мож­ны не­точ­но­сти с (не)вклю­че­ни­ем кон­цов и(или) вы­чис­ли­тель­ная по­греш­ность.2
Ре­ше­ние со­дер­жит:

− или вер­ное опи­са­ние рас­по­ло­же­ния двух лучей и пря­мой из усло­вия за­да­чи;

− или вер­ное по­лу­че­ние квад­рат­но­го урав­не­ния с па­ра­мет­ром a от­но­си­тель­но одной из пе­ре­мен­ных.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 251
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с па­ра­мет­ром
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025