Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC является хордой окружности ω радиуса 10. Вершина C лежит на диаметре окружности ω, который параллелен гипотенузе. Угол CAB равен 75°.
а) Найдите площадь треугольника ABC.
б) Найдите расстояние между центрами окружности ω и окружности, вписанной в треугольник ABC.
Обозначим концы диаметра за D и E, основание высоты треугольника ABC, проведенной из C, за H, основание перпендикуляра из O к AB за T, центр вписанной окружности ABC за I. Пусть, далее, 
Тогда
По теореме Пифагора для треугольника OTA получаем тогда:
а) Имеем:
б) Поскольку CI — биссектриса угла ACB, 
Далее, ##
а
по свойствам окружности, вписанной в прямоугольный треугольник.
Наконец,
По теореме косинусов для треугольника ICO получим:
Ответ: а) 40; б) 