Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 527312

Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC является хордой окружности ω радиуса 10. Вершина C лежит на диаметре окружности ω, который параллелен гипотенузе. Угол CAB равен 75°.

а) Найдите площадь треугольника ABC.

б) Найдите расстояние между центрами окружности ω и окружности, вписанной в треугольник ABC.

Решение.

Обозначим концы диаметра за D и E, основание высоты треугольника ABC, проведенной из C, за H, основание перпендикуляра из O к AB за T, центр вписанной окружности ABC за I. Пусть, далее, x=HC. Тогда

HB=x\ctg 15 в степени \circ ,    HA=x тангенс 15 в степени \circ ,    TA= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AB= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 x(\ctg 15 в степени \circ плюс tg 15 в степени \circ ),    OT=HC=x.

По теореме Пифагора для треугольника OTA получаем тогда:

 100=x в степени 2 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 x в степени 2 (\ctg 15 в степени \circ плюс тангенс 15 в степени \circ ) в степени 2 равносильно 100=x в степени 2 левая круглая скобка 1 плюс левая круглая скобка дробь, числитель — тангенс в степени 2 15 в степени \circ плюс 1, знаменатель — 2 тангенс 15 в степени \circ правая круглая скобка в степени 2 правая круглая скобка равносильно

 равносильно 100=x в степени 2 левая круглая скобка 1 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — синус в степени 2 30 в степени \circ правая круглая скобка равносильно 100=5x в степени 2 равносильно x=2 корень из { 5}.

а) Имеем:

S_{ABC}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 CH умножить на AB= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 x в степени 2 (\ctg 15 в степени \circ плюс tg 15 в степени \circ )=x в степени 2 умножить на дробь, числитель — тангенс в степени 2 15 в степени \circ плюс 1, знаменатель — 2 тангенс 15 в степени \circ = дробь, числитель — 20, знаменатель — синус 30 в степени \circ =40.

б) Поскольку CI — биссектриса угла ACB, \angle ICO=\angle ICB плюс \angle BCO= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 \angle ACB плюс \angle CBT=45 в степени \circ плюс 15 в степени \circ =60 в степени \circ .

Далее, ##

r_{ABC}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (AC плюс BC минус AB)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ( дробь, числитель — x, знаменатель — косинус 15 в степени \circ плюс дробь, числитель — x, знаменатель — синус 15 в степени \circ минус x тангенс 15 в степени \circ минус x\ctg 15 в степени \circ )=

= дробь, числитель — x, знаменатель — 2 синус 15 в степени \circ косинус 15 в степени { \circ }( синус 15 в степени \circ плюс косинус 15 в степени \circ минус синус в степени 2 15 в степени \circ минус косинус в степени 2 15 в степени \circ )=

= дробь, числитель — x, знаменатель — синус 30 в степени \circ ( синус 15 в степени \circ плюс синус 75 в степени \circ минус 1)= 2x(2 синус 45 в степени \circ косинус 30 в степени \circ минус 1)=4 корень из { 5}( дробь, числитель — корень из { 6}, знаменатель — 2 минус 1)=2 корень из { 30} минус 4 корень из { 5},

а

CI= корень из { 2}r_{ABC}=4 корень из { 15} минус 4 корень из { 10}

по свойствам окружности, вписанной в прямоугольный треугольник.

Наконец,

CO=HT=AT минус AH= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 x(\ctg 15 в степени \circ минус tg 15 в степени \circ )=

=2 корень из { 5} умножить на дробь, числитель — 1 минус тангенс в степени 2 15 в степени \circ , знаменатель — 2 тангенс 15 в степени \circ =2 корень из { 5}\ctg 30 в степени \circ =2 корень из { 15}.

По теореме косинусов для треугольника ICO получим:

IO= корень из { CO в степени 2 плюс CI в степени 2 минус CO умножить на CI}= корень из { 16(15 плюс 10 минус 2 корень из { 150}) плюс 60 минус (120 минус 8 корень из { 150})}=

= корень из { 340 минус 24 корень из { 150}}= корень из { 340 минус 120 корень из { 6}}.

 

Ответ: а) 40; б)  корень из { 340 минус 120 корень из { 6}}.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 251.
Методы геометрии: Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Окружности, Окружность, вписанная в треугольник