Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

Если (то есть ), то и такие зна­че­ния под­хо­дят. В осталь­ных слу­ча­ях можно раз­де­лить урав­не­ние на По­лу­ча­ем:

Левая часть по мо­ду­лю все­гда не боль­ше еди­ни­цы, а пра­вая, на­о­бо­рот, не мень­ше еди­ни­цы. Зна­чит, что воз­мож­но толь­ко при то есть при При этом и такие зна­че­ния под­хо­дят.

б)  С по­мо­щью три­го­но­мет­ри­че­ско­го круга от­бе­рем корни. На ука­зан­ном про­ме­жут­ке лежат

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пря­мая LN пер­пен­ди­ку­ляр­на двум пе­ре­се­ка­ю­щим­ся пря­мым KM и LL₁ плос­ко­сти MM₁K₁K, по­это­му пря­мая LN пер­пен­ди­ку­ляр­на этой плос­ко­сти. Тогда, любая пря­мая, про­хо­дя­щая через точку P пер­пен­ди­ку­ляр­но NL (или сов­па­да­ю­щей с ней пря­мой SA), лежит в плос­ко­сти MM₁K₁K.

Из­вест­но, что бо­ко­вое ребро пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды пер­пен­ди­ку­ляр­но, скре­щи­ва­ю­щей­ся с ним диа­го­на­ли ос­но­ва­ния. Кроме того, если пря­мая l и плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­ны одной и той же пря­мой, то пря­мая l либо лежит в плос­ко­сти α, либо па­рал­лель­на ей.

Скре­щи­ва­ю­щи­е­ся пря­мые SA и BD пер­пен­ди­ку­ляр­ны и плос­кость MM₁K₁K пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой SA, по­это­му пря­мая BD либо лежит в плос­ко­сти MM₁K₁K, либо па­рал­лель­на ей. Вто­рой слу­чай ис­клю­ча­ет­ся, так как по усло­вию за­да­чи точка D лежит на пря­мой MM₁, то есть яв­ля­ет­ся общей точ­кой пря­мой BD и плос­ко­сти MM₁K₁K. Зна­чит, пря­мая BD лежит в плос­ко­сти MM₁K₁K. В то же время, точка B лежит в плос­ко­сти MM₁L₁L, так как она лежит на пря­мой EF этой плос­ко­сти. Сле­до­ва­тель­но, точка B лежит на пря­мой MM₁ пе­ре­се­че­ния плос­ко­стей MM₁K₁K и MM₁L₁L.

б)  Из пунк­та а) сле­ду­ет, что M  — се­ре­ди­на диа­го­на­ли ос­но­ва­ния ABCD пи­ра­ми­ды. Тогда MP  — общий пер­пен­ди­ку­ляр скре­щи­ва­ю­щих­ся пря­мых SA и BD. Обо­зна­чим AB  =  a. Тогда

Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков BMF и ELF сле­ду­ет, что по­это­му Пусть V₁ и V₂  — объёмы приз­мы KLMNK₁L₁M₁N₁ и пи­ра­ми­ды SABCD. Тогда

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

Раз­бе­рем те­перь три слу­чая.

При имеем:

До­ка­жем, что Имеем:

Зна­чит, ответ на этот слу­чай будет (осталь­ные от­ве­ты не удо­вле­тво­ря­ют усло­вию ).

При имеем:

Пер­вое не­ра­вен­ство не имеет ре­ше­ний на про­ме­жут­ке По­это­му такой слу­чай не­воз­мо­жен.

При имеем:

Окон­ча­тель­но:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  По усло­вию диа­го­на­ли че­ты­рех­уголь­ни­ка ABEC де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­по­лам, по­это­му он па­рал­ле­ло­грамм и пря­мая AB па­рал­лель­на пря­мой CE

б)  Если па­рал­ле­ло­грамм впи­сан в окруж­ность, то он пря­мо­уголь­ник, по­это­му Кроме того, BC  — диа­метр окруж­но­сти, а M  — ее центр. Пусть O  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка ABC. Обо­зна­чим Тогда При­ме­ним тео­ре­му о ра­вен­стве про­из­ве­де­ний от­рез­ков хорд:

по­это­му Далее:

по­это­му Зна­чит,

Итак, тогда

Ответ:

Ре­ше­ние. По­сколь­ку нужно про­сто из­го­то­вить как можно боль­ше де­та­лей (каж­дая даст из­де­лие), то на пер­вом ком­би­на­те вы­год­но де­лать де­та­ли B. На вто­ром ком­би­на­те можно сде­лать 42 де­та­ли, по­сколь­ку Тогда общее число де­та­лей со­ста­вит

Ответ: 3642.

Если же по­ни­мать усло­вие так, что тру­до­за­тра­ты на вто­ром пред­при­я­тии счи­та­ют­ся от­дель­но для де­та­лей двух типов, то ответ будет дру­гим. Пусть вы­пу­ще­но a де­та­лей типа A и b де­та­лей типа B, тогда и

и это зна­че­ние до­сти­га­ет­ся при

Ответ:

Ре­ше­ние. Пе­ре­пи­шем урав­не­ние в виде при Сумма мо­ду­лей равна сумме их ар­гу­мен­тов и толь­ко тогда, когда эти ар­гу­мен­ты не­от­ри­ца­тель­ны. Зна­чит, и То есть на от­рез­ке лежат не менее че­ты­рех целых чисел. Ясно, что среди них будут −1; 0; 1; 2, а будет ли еще какое-то  — уже не­важ­но. Зна­чит,

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  До­пу­стим, 20 школь­ни­ков по­лу­чи­ли по две кар­точ­ки с чис­лом 20, по пять школь­ни­ков по­лу­чи­ли крас­ные или синие кар­точ­ки с еди­ни­цей и по два школь­ни­ка  — крас­ные или синие кар­точ­ки с нулем. Тогда сред­нее по каж­до­му цвету со­ста­вит

а общее сред­нее

б)  Если бы ока­за­лось так, то сумма всех на­зван­ных чисел со­ста­ви­ла бы 34 · 9  =  306. Если бы кар­то­чек ка­ко­го-то цвета было 21 или боль­ше, то сумма на них была бы не мень­ше

а об­ла­да­те­ли этих кар­то­чек вме­сте на­зва­ли бы не мень­ше, чем сумму на этих кар­точ­ках. Зна­чит, кар­то­чек каж­до­го цвета не более 20. Тогда есть не более 6 че­ло­век, име­ю­щих кар­точ­ки обоих цве­тов. За­ме­тим, что кар­то­чек од­но­го из цве­тов (на­при­мер, крас­но­го) не менее а кар­то­чек дру­го­го цвета не менее 34 − 20  =  14. Тогда сумма на крас­ных кар­точ­ках не менее 17 · 15, сумма на синих не менее 14 · 15, а по­то­му общая сумма не менее 31 · 15  =  465. Все числа общей суммы будут на­зва­ны, кроме мак­си­мум 6 чисел, каж­дое из ко­то­рых не более 20. По­это­му общая сумма на­зва­ных чисел будет не менее

в)  Пусть а  — сумма на кар­точ­ках тех школь­ни­ков, ко­то­рые по­лу­чи­ли одну кар­точ­ку, b  — сумма наи­боль­ших чисел у тех школь­ни­ков, ко­то­рые по­лу­чи­ли по две кар­точ­ки, с  — сумма наи­мень­ших чисел у тех школь­ни­ков, ко­то­рые по­лу­чи­ли по две кар­точ­ки. За­ме­тим, что сред­ние по каж­до­му цвету в от­дель­но­сти равны 15, по­это­му общее сред­нее всех чисел также равно 15. Всего была вы­да­на 51 кар­точ­ка. Зна­чит, общая сумма чисел на кар­точ­ках равна

При этом a + b  =  34S. Зна­чит,

Это зна­че­ние до­сти­га­ет­ся если, на­при­мер, 17 школь­ни­ков по­лу­чи­ли по две раз­но­цвет­ные кар­точ­ки с чис­ла­ми 20, 8 школь­ни­ков по­лу­чи­ли толь­ко крас­ные кар­точ­ки с сум­мой чисел на них, рав­ной 35 (на­при­мер, 20, 15, 0, 0, 0, 0, 0, 0) и 9 школь­ни­ков по­лу­чи­ли толь­ко синие кар­точ­ки с сум­мой чисел на них рав­ной 50 (на­при­мер, 20, 20, 10, 0, 0, 0, 0, 0, 0).

Ответ: а) 20 школь­ни­ков по­лу­чи­ли по две кар­точ­ки с чис­лом 20, по пять школь­ни­ков по­лу­чи­ли крас­ные или синие кар­точ­ки с еди­ни­цей и по два школь­ни­ка  — крас­ные или синие кар­точ­ки с нулем; б) нет; в) 12,5.