Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 527256
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние синус в квад­ра­те 2x плюс синус в квад­ра­те 4x=1 минус дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус 2x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус 3x конец дроби .

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­си­нус 4x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­си­нус 8x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =1 минус дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус 2x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус 3x конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: минус ко­си­нус 4x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: минус ко­си­нус 8x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус 2x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус 3x конец дроби рав­но­силь­но

рав­но­силь­но ко­си­нус 4x плюс ко­си­нус 8x= дробь: чис­ли­тель: 2 ко­си­нус 2x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус 3x конец дроби рав­но­силь­но ко­си­нус 6x ко­си­нус 2x= дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус 2x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус 3x конец дроби .

Если ко­си­нус 2x=0 (то есть 2x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k, x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ), то ко­си­нус 3x не равно 0 и такие зна­че­ния под­хо­дят. В осталь­ных слу­ча­ях можно раз­де­лить урав­не­ние на ко­си­нус 2x. По­лу­ча­ем: ко­си­нус 6x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус 3x конец дроби .

Левая часть по мо­ду­лю все­гда не боль­ше еди­ни­цы, а пра­вая, на­о­бо­рот, не мень­ше еди­ни­цы. Зна­чит, ко­си­нус 3x= ко­си­нус 6x=\pm 1, что воз­мож­но толь­ко при 3x=2 Пи k, то есть при x= дробь: чис­ли­тель: 2 Пи k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . При этом ко­си­нус 3x не равно 0 и такие зна­че­ния под­хо­дят.

б)  С по­мо­щью три­го­но­мет­ри­че­ско­го круга от­бе­рем корни. На ука­зан­ном про­ме­жут­ке лежат дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , 0, минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 2 Пи k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби :k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , 0, минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 248
Классификатор алгебры: Урав­не­ния, ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций
Методы алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы суммы и раз­но­сти функ­ций, Фор­му­лы двой­но­го угла
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025