PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 527246 
Классификатор алгебры: Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций
Методы алгебры: Введение замены
Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения
i
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Обозначим 
и преобразуем уравнение
Поскольку 
это действительно корень. Имеем 
откуда 
б) С помощью тригонометрического круга отберем корни. На указанном промежутке лежит 
Ответ а) 
б)
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
527246
а) б)
б) Классификатор алгебры: Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций
Методы алгебры: Введение замены
Q и P — точки на ребрах SB и SC соответственно такие, что прямая QP параллельна прямой BC и 
Поскольку 
точка N также принадлежит плоскости, проходящей через H перпендикулярно к AS. Следовательно, 
откуда 
и 
сечение плоскостью 
есть QPMN. Это трапеция, поэтому ее площадь равна 
Как уже известно, 
Пусть 
тогда 
Напишем теорему косинусов для треугольника SAK:
По теореме синусов для того же треугольника: 
Далее:
Значит, 
поэтому 
Значит, 
Треугольники SQP и SBC подобны, а отношение их высот мы нашли, поэтому 
Наконец, 
б) 
Обозначим 
тогда неравенство примет вид:
Если 
мы получаем систему неравенств, которую решим, рационализируя их. Имеем:
то нужно решить рационализацией лишь одно неравенство:
Окончательно: 
Точка D' симметрична точке D относительно прямой BC, точка D'' симметрична точке D’ относительно прямой AC и лежит на прямой BC. Известно, что 
Тогда 
и 
откуда 
Кроме того, 
а пряников получили 
Именно столько еще заказали шоколадных, заплатив за них, следовательно, 
Равенство возможно при 
то есть при 
рублей.
Вместе с координатными осями она разобьет плоскость на шесть частей, в каждой из которых модули раскрываются одинаково во всех точках.
имеем 
откуда 
Нас интересует только отрезок этой прямой от 
до 
имеем 
откуда 
Нас интересует только отрезок этой прямой от 
до 
имеем 
откуда 
Нас интересует только отрезок этой прямой от 
при положительных a (точка при 
и пустое множество при 
). Заметим, что точки 
образуют квадрат. Его сторона 
поэтому радиус вписанной окружности 
Значит, при 
окружность лежит целиком внутри этого квадрата и не имеет общих точек с шестиугольником. При 
она касается двух сторон шестиугольника, поэтому такая ситуация нас устраивает. При бОльших a (но меньших чем 
) она содержит две точки с отрезка, соединяющего 
и 
но при этом выходит за пределы шестиугольника. в каждой полуплоскости относительно 
Значит, в каждой полуплоскости она имеет минимум два пересечения с контуром, а всего минимум четыре.
она содержит две вершины шестиугольника, а остальные вершины лежат у нее внутри, поэтому она больше нигде не пересекает его стороны. При бОльших a все вершины шестиугольника лежат у нее внутри и точек пересечения нет вовсе.
вместо всех знаков * так расставить знаки «+» и «−», чтобы модуль этого выражения стал меньше 
если разными способами заменять каждый из знаков * заменять знаками «+» и «−»?
Если он сократится, то станет максимум 420 и дробь уже не будет меньше 
(если она не равна нулю).
Заметим, что 
и эти числа снабдить минусом. В них должно входить 120 (чтобы не было делимости на 7) и 105 (чтобы не было четности). Оставшиеся 490 легко набрать как 
Это дает пример 
