Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д12 C3 № 527248
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x дробь: чис­ли­тель: x плюс 1, зна­ме­на­тель: 12x конец дроби боль­ше 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x плюс 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка x.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Сразу от­ме­тим, что x боль­ше 0, x не равно 1, x не равно 11. Обо­зна­чим t= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x дробь: чис­ли­тель: x плюс 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби , тогда не­ра­вен­ство при­мет вид:

t минус 1 боль­ше дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: t конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: t в квад­ра­те минус t минус 2, зна­ме­на­тель: t конец дроби боль­ше 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: t конец дроби боль­ше 0.

C по­мо­щью ме­то­да ин­тер­ва­лов по­лу­чим t при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 1;0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . Если t при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 1;0 пра­вая круг­лая скоб­ка , мы по­лу­ча­ем си­сте­му не­ра­венств, ко­то­рую решим, ра­ци­о­на­ли­зи­руя их. Имеем:

левая фи­гур­ная скоб­ка \beginaligned новая стро­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x дробь: чис­ли­тель: x плюс 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби мень­ше 0, новая стро­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x дробь: чис­ли­тель: x плюс 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби боль­ше минус 1 \endaligned. рав­но­силь­но левая фи­гур­ная скоб­ка \beginaligned новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 дробь: чис­ли­тель: x плюс 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x конец дроби мень­ше 0, новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 дробь: чис­ли­тель: x плюс 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x конец дроби боль­ше минус 1 \endaligned. рав­но­силь­но левая фи­гур­ная скоб­ка \beginaligned новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 12, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 1 конец дроби мень­ше 0, новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 12 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 1 конец дроби боль­ше 0 \endaligned. рав­но­силь­но

рав­но­силь­но левая фи­гур­ная скоб­ка \beginaligned новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 12, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 1 конец дроби мень­ше 0, новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 12, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 1 конец дроби боль­ше 0 \endaligned. рав­но­силь­но левая фи­гур­ная скоб­ка \beginaligned новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: x плюс 1 минус 12, зна­ме­на­тель: x минус 1 конец дроби мень­ше 0, новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: x левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 12, зна­ме­на­тель: x минус 1 конец дроби боль­ше 0 \endaligned. рав­но­силь­но левая фи­гур­ная скоб­ка \beginaligned новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: x минус 11, зна­ме­на­тель: x минус 1 конец дроби мень­ше 0, новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x минус 1 конец дроби боль­ше 0 \endaligned. рав­но­силь­но

рав­но­силь­но левая фи­гур­ная скоб­ка \beginaligned новая стро­ка x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 1;11 пра­вая круг­лая скоб­ка , новая стро­ка x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 4;1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 3; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка \endaligned. рав­но­силь­но x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 3;11 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Если же t боль­ше 2, то нужно ре­шить ра­ци­о­на­ли­за­ци­ей лишь одно не­ра­вен­ство:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x дробь: чис­ли­тель: x плюс 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби боль­ше 2 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 дробь: чис­ли­тель: x плюс 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x конец дроби боль­ше 2 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 12, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x конец дроби боль­ше 2 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 12 минус 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x конец дроби боль­ше 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 12x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 1 конец дроби боль­ше 0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: x плюс 1 минус 12x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: x минус 1 конец дроби боль­ше 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 1 минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 4x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x минус 1 конец дроби боль­ше 0 рав­но­силь­но x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ;1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Пер­вый про­ме­жу­ток не под­хо­дит в усло­вие x боль­ше 0. Окон­ча­тель­но: x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ;1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 3;11 пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ;1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 3;11 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах ис­ход­ной си­сте­мы.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной си­сте­мы.

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 247
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с ло­га­риф­ма­ми по пе­ре­мен­но­му ос­но­ва­нию
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны, Ра­ци­о­на­ли­за­ция не­ра­венств
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025