1. Тип Д8 C1 № 527202 
Методы алгебры: Введение замены
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.5 Показательные уравнения
Уравнения, системы уравнений. Сложные уравнения смешанного типа
i
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Преобразуем уравнение:
Поделим уравнение на 
и обозначим 
Имеем:
В первом случае получим 
Во втором случае аналогично 
б) Поскольку 
первый корень меньше двойки. Кроме того,
поэтому второй корень лежит на указанном отрезке.
Ответ: а) 
б)
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 527202
а) б)
б) Методы алгебры: Введение замены
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.5 Показательные уравнения
Точки P и Q — середины рёбер BC и AD соответственно
Тогда 
поэтому точки P, Q, M, T лежат в одной плоскости и PQMT — сечение. Поскольку прямая TM параллельна прямой PQ и 
оно является трапецией.
поэтому треугольники MDQ и TCP равны по первому признаку равенства треугольников. Значит, 
и трапеция равнобедренная.
и сделаем замену 
Имеем:
Далее:
и 
соответственно. Биссектриса угла A пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника 
— биссектриса угла 
если известно, что 
вписанной окружности треугольника ABC. Поэтому дуги 
равны. Значит, равны и углы 
и 
— первый из них равен половине первой дуги как угол между касательной и хордой, а второй равен половине второй дуги как вписанный угол, опирающийся на нее.
то есть его центр вписанной окружности. Поэтому нужно найти 
Вычислим: 
тогда остаток долга (уменьшающийся равномерно в течение 24 месяцев) будет равен 
Чтобы найти очередную выплату, нужно из долга, увеличенного на два процента, вычесть следующий долг.
... , 
Они составляют арифметическую прогрессию. 
Значит, в кредит нужно взять 
рублей.
рублей.
первое уравнение можно записать в виде: 
и радиусом 
лежащей в полуплоскости 
первое уравнение можно записать в виде: 
и радиусом 
Точки пересечения этих окружностей с прямыми можно угадать по картинке и проверить подстановкой, это 
и 
Второе уравнение задает прямую, проходящую через точку 
и любая прямая, кроме вертикальной, может быть задана таким уравнением.
Если ее поворачивать в любую сторону, она будет давать одно решение до тех пор, пока не станет касательной к одной из окружностей. Затем решений станет два. Итак, осталось выяснить, при каких a эта прямая касается наших окружностей. Для этого расстояние от центра окружности до прямой должно быть равно радиусу окружности.
то его число делителей равно 
Если это 14, то либо тут всего один множитель 14, либо два множителя 2 и 7. Поэтому исходное число имеет вид либо 
либо 
Исходное число 
не может делиться на 14, а 
может только если p и q это 2 и 7. Итак, годятся 
и 
подойдет, например, число 
в) Да.