Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем чис­ли­тель и при­рав­ня­ем его к нулю.

За­ме­тим, од­на­ко, что об­ну­ля­ют зна­ме­на­тель и долж­ны быть уда­ле­ны из от­ве­та.

Окон­ча­тель­но

б)  Отберём корни на ука­зан­ном про­ме­жут­ке с по­мо­щью три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти.

На ука­зан­ном про­ме­жут­ке лежит

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Оче­вид­но по­это­му се­че­ние  — тра­пе­ция Пусть ребро куба равно Вы­чис­лим объем одной из ча­стей.

по фор­му­ле объ­е­ма усе­чен­ной пи­ра­ми­ды. Зна­чит,

от­ку­да и сле­ду­ет нуж­ный ответ.

б)  

В тра­пе­ции вы­со­та равна Это за­од­но равно вы­со­те тре­уголь­ни­ка

Тогда по­лу­ча­ем

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Ясно, что и При этих усло­ви­ях, обо­зна­чая имеем

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть По свой­ству бис­сек­три­сы по­это­му По свой­ству пе­ре­се­ка­ю­щих­ся хорд от­ку­да Зна­чит, (опи­ра­ют­ся на дугу BE опи­сан­ной окруж­но­сти), от­ку­да

б)  По фор­му­ле для бис­сек­три­сы имеем от­ку­да

Ответ: б)

Ре­ше­ние. До­пу­стим, вклад со­став­ля­ет пер­вый банк умно­жа­ет вклад на p каж­дый квар­тал, а вто­рой банк умно­жа­ет на q каж­дый год. По усло­вию

Вы­чи­тая из пер­во­го урав­не­ния утро­ен­ное вто­рое, по­лу­ча­ем

Зна­чит, пер­вый банк на­чис­ля­ет за год 36%.

Ответ: 36%.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим тогда не­ра­вен­ство при­мет вид

t при­ни­ма­ет любые по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния. Если это не­ра­вен­ство вы­пол­не­но при каком-то t и то можно не­мно­го уве­ли­чить t и по­лу­чить дру­гое ре­ше­ние. Зна­чит, по­это­му При мень­ших a можно взять для по­ло­жи­тель­ных a и для от­ри­ца­тель­ных a и по­лу­чить ре­ше­ние, для ко­то­ро­го

Итак, ответ

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  на­при­мер Толь­ко и крат­ны 24.

б)  По­сколь­ку про­грес­сия бес­ко­неч­ная, то ее зна­ме­на­тель  — на­ту­раль­ное число. Если пер­вый член про­грес­сии кра­тен то и все осталь­ные тоже, по­это­му и все суммы крат­ны 24. До­пу­стим те­перь, что b не крат­но но крат­ны. Тогда крат­но При этом bq не крат­но иначе не могло бы быть ему крат­но. Зна­чит, q четно. Тогда и b четно (ведь четно). Тогда bq крат­но 4 (про­из­ве­де­ние двух чет­ных чисел), а тогда и b крат­но 4 (ведь крат­но 4). Но тогда си­ту­а­ция крат­но bq не крат­но не­воз­мож­на - оба числа крат­ны и либо оба крат­ны трем, либо оба не крат­ны трем.

в)  Про­дол­жая про­грес­сию из п. а), по­лу­чим при­мер для че­ты­рех чисел. По­про­бу­ем до­ка­зать, что боль­ше сде­лать нель­зя. До­пу­стим, таких сумм ми­ни­мум пять. Тогда среди них есть две с со­сед­ни­ми но­ме­ра­ми, Зна­чит, их раз­ность  — один из чле­нов про­грес­сии  — де­лит­ся на 24.

Рас­смот­рим, как устро­е­ны все члены про­грес­сии, крат­ные трем. Сте­пень трой­ки во всех чле­нах про­грес­сии рас­тет при уве­ли­че­нии но­ме­ра на одну и ту же ве­ли­чи­ну, или убы­ва­ет на одну и ту же ве­ли­чи­ну (для бес­ко­неч­ной про­грес­сии это на самом деле не­воз­мож­но), или оста­ет­ся не­из­мен­ной. Зна­чит, либо ни один из чле­нов про­грес­сии не кра­тен трем (а тогда и ), либо трем крат­ны все члены про­грес­сии, кроме может быть пер­во­го или по­след­не­го. Если все, кроме пер­во­го  — ни одна из сумм не будет крат­на трем. Если все, кроме по­след­не­го  — умно­жим все члены про­грес­сии на 3, от этого суммы не пе­ре­ста­нут де­лить­ся на 24, пер­вый член не нач­нет де­лить­ся на 24 (он и так был кра­тен трем). Итак, можно счи­тать, что все члены про­грес­сии крат­ны трем. Тогда по­де­лим их все на 3 и будем изу­чать де­ли­мость S_i на 8.

Рас­суж­дая ана­ло­гич­но про де­ли­мость на сте­пе­ни двой­ки, при­дем либо к от­ве­ту либо к воз­мож­но­сти со­кра­тить все на и изу­че­нию де­ли­мо­сти на Затем  — к изу­че­нию де­ли­мо­сти на Для нее уже ва­ри­ан­тов, да­ю­щих боль­ше че­ты­рех сумм, не оста­нет­ся  — либо все члены про­грес­сии имеют оди­на­ко­вую чет­ность (и Зна­чит, не­чет­ны и там 4 суммы), либо все четны, кроме пер­во­го (тогда чет­ных сумм нет).

Ответ: а) 12, 36, 108, 324; б) нет; в) 4.