Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние

Зна­чит, либо то есть либо то есть

б)  На ука­зан­ном про­ме­жут­ке лежат корни

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Опу­стим из N пер­пен­ди­ку­ляр на AD и обо­зна­чим его ос­но­ва­ние за По усло­вию тре­уголь­ник   — рав­но­сто­рон­ний, как и тре­уголь­ник по­это­му то есть Ясно, что по­это­му T тоже лежит в се­че­нии. Но тогда по­сколь­ку про­ек­ция на плос­кость верх­не­го ос­но­ва­ния  — пря­мая

б)  Ясно, что Про­ве­дем в грани пря­мую, па­рал­лель­ную и обо­зна­чим ее точку пе­ре­се­че­ния с реб­ром за Тогда се­че­ние  — пя­ти­уголь­ник Рас­смот­рим его про­ек­цию на ниж­нее ос­но­ва­ние  — пя­ти­уголь­ник По из­вест­ной фор­му­ле имеем

по­сколь­ку плос­ко­сти пе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой TN и пря­мые TD и пер­пен­ди­у­ляр­ны ей. Про­дол­жим вы­чис­ле­ния.

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим тогда не­ра­вен­ство при­мет вид

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Имеем:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Как из­вест­но, точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей тра­пе­ции, точка пе­ре­се­че­ния про­дол­же­ний бо­ко­вых сто­рон и се­ре­ди­ны ос­но­ва­ний лежат на одной пря­мой, по­это­му M и N  — се­ре­ди­ны BC и AD со­от­вет­ствен­но. Из усло­вий опи­сан­но­сти на­хо­дим от­ку­да Зна­чит, и

б)  Опу­стим вы­со­ту CT на Пусть тогда

Итак, по­это­му тре­уголь­ни­ки KAD и KBC по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том

Зна­чит,

Ответ: б)

Ре­ше­ние. До­пу­стим вклад­чик по­ло­жил и его вклад был умно­жен на тогда во вто­ром квар­та­ле умно­же­ние про­изо­шло на Раз­мер счета после двух квар­та­лов со­ста­вит Наи­боль­шее зна­че­ние вто­рой скоб­ки до­сти­га­ет­ся при такое зна­че­ние до­пу­сти­мо  — оно со­от­вет­ству­ет си­ту­а­ции и

Ответ: 100%.

Ре­ше­ние. Изоб­ра­зим на плос­ко­сти точки, под­хо­дя­щие в пер­вое урав­не­ние. Они долж­ны об­ну­лять одну из ско­бок, то есть либо ле­жать на окруж­но­сти ра­ди­у­са с цен­тром в либо на окруж­но­сти ра­ди­у­са с цен­тром в Сразу за­ме­тим, что рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей со­став­ля­ет по­это­му окруж­но­сти не пе­ре­се­ка­ют­ся. Зна­чит, для су­ще­ство­ва­ния че­ты­рех ре­ше­ний пря­мая долж­на иметь с каж­дой окруж­но­стью ровно две общие точки. То есть рас­сто­я­ние от цен­тра каж­дой окруж­но­сти до пря­мой долж­но быть мень­ше ра­ди­у­са. По­лу­ча­ем си­сте­му не­ра­венств

Оче­вид­но все a, под­хо­дя­щие в пер­вое не­ра­вен­ство, от­ри­ца­тель­ны, к тому же Это дает окон­ча­тель­ный ответ

Ответ:

Ре­ше­ние. От­ме­тим сразу, что если к числу при­пи­сать еди­ни­цу (в любое место), то его про­из­ве­де­ние цифр не из­ме­нит­ся. Далее, если раз­ло­же­ние не­ко­то­ро­го числа на про­стые мно­жи­те­ли со­дер­жит мно­жи­те­ли боль­шие то числа с таким про­из­ве­де­ни­ем цифр су­ще­ство­вать не может. В част­но­сти, если число боль­ше еди­ни­цы и не крат­но 2, 3, 5, 7  — оно точно не под­хо­дит.

а)  По­дой­дет, на­при­мер, число 2222222.

б)   крат­но не крат­но крат­но по­это­му оно воз­мож­но, на­при­мер, для числа и любых пе­ре­ста­но­вок его цифр. По­сколь­ку объ­еди­нить какие-то из этих мно­жи­те­лей нель­зя.

При­мер таких чисел: 3577, 3757, 3775, 5377, 5737, 5773, 7357, 7375, 7537, 7573, 7735, 7753

в)  888 крат­но 37, 889 крат­но 127, 890 крат­но 89, 891 крат­но 11, 892 крат­но 223, 893 не крат­но 2, 3, 5, 7.

Ответ: а)Да, на­при­мер 2222222, б) Да, на­при­мер 3577, 3757, 3775, 5377, 5773, 5737, 7357, 7375, 7573, 7735, 7753, в) Нет.