Дана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС. Диагонали АС и BD пересекаются в точке О, а прямые АВ и CD — в точке К. Прямая КО пересекает стороны ВС и AD в точках М и N соответственно, и угол BAD равен 30°. Известно, что в трапеции ABMN и NMCD можно вписать окружность.
а) Докажите, что треугольник AKD тупоугольный.
б) Найти отношение площадей треугольника ВКС и трапеции ABCD.
а) Как известно, точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой, поэтому M и N — середины BC и AD соответственно. Из условий описанности находим 
откуда 
Значит, 
и 
б) Опустим высоту CT на 
Пусть 
тогда 
Итак, 
поэтому треугольники KAD и KBC подобны с коэффициентом
Значит,
Ответ: б) 