Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д19 C7 № 521691
i

На доске на­пи­са­но 30 на­ту­раль­ных чисел (не­обя­за­тель­но раз­лич­ных), каж­дое из ко­то­рых боль­ше 10, но не пре­вос­хо­дит 50. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское на­пи­сан­ных чисел рав­ня­лось 17. Вме­сто каж­до­го из чисел на доске на­пи­са­ли число, в два раза мень­шее пер­во­на­чаль­но­го. Числа, ко­то­рые ока­за­лись мень­ше 6, стер­ли.

а)  Могло ли ока­зать­ся так, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся на доске чисел боль­ше 17?

б)  Могло ли ока­зать­ся так, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся на доске чисел боль­ше 19, но мень­ше 20?

в)  Най­ди­те мак­си­маль­но воз­мож­ное зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го чисел, остав­ших­ся на доске.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ясно, что сте­реть могли толь­ко числа 5,5, по­лу­чен­ные из 11. До­пу­стим в на­бо­ре было n чисел рав­ных 11 и 30 минус n чисел, не рав­ных 11. Тогда сумма всех чисел была 30 умно­жить на 17=510, а сумма всех чисел, боль­ших 11, была 510 минус 11n. Все ее сла­га­е­мые умень­ши­лись вдвое, Зна­чит, и она умень­ши­лась вдвое. Итак, новое сред­нее ариф­ме­ти­че­ское стало равно

дробь: чис­ли­тель: 510 минус 11n, зна­ме­на­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка 30 минус n пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 11 плюс дробь: чис­ли­тель: 180, зна­ме­на­тель: 30 минус n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

а)  Пусть n=24, а остав­ши­е­ся 6 чисел равны 41. Тогда новое сред­нее со­ста­вит 20,5

 

б)  Решая двой­ное не­ра­вен­ство 19 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 11 плюс дробь: чис­ли­тель: 180, зна­ме­на­тель: 30 минус n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 20, имеем

38 мень­ше 11 плюс дробь: чис­ли­тель: 180, зна­ме­на­тель: 30 минус n конец дроби мень­ше 40 рав­но­силь­но 27 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 180, зна­ме­на­тель: 30 минус n конец дроби мень­ше 29 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 180, зна­ме­на­тель: 29 конец дроби мень­ше 30 минус n мень­ше дробь: чис­ли­тель: 180, зна­ме­на­тель: 27 конец дроби

Это не­воз­мож­но, по­сколь­ку оба край­них числа лежат от 6 до 7, а сред­нее целое.

 

в)  Ясно, что n нужно взять как можно боль­шим, тогда 30 минус n будет ми­ни­маль­ным, а дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 11 плюс дробь: чис­ли­тель: 180, зна­ме­на­тель: 30 минус n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка мак­си­маль­ным. Но кроме того 510 минус 11n мень­ше или равно 50 левая круг­лая скоб­ка 30 минус n пра­вая круг­лая скоб­ка , по­сколь­ку все числа не пре­вос­хо­дят 50, Зна­чит, 39n мень­ше или равно 990, n мень­ше или равно 25. Тогда сред­нее со­ста­вит не более дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 11 плюс дробь: чис­ли­тель: 180, зна­ме­на­тель: 30 минус 25 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =23,5. Это воз­мож­но, если было на­при­мер 5 чисел 47 и 25 чисел 11.

 

Ответ: а) да, б) нет, в) 23,5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Верно по­лу­че­ны все пе­ре­чис­лен­ные (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­ты.4
Верно по­лу­че­ны три из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов.3
Верно по­лу­че­ны два из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов.2
Верно по­лу­чен один из сле­ду­ю­щих ре­зуль­та­тов:

  — при­мер в п. а;

  — обос­но­ван­ное ре­ше­ние п. б;

  — обос­но­ва­ние в п. в того, что S может при­ни­мать все целые зна­че­ния (от­лич­ные от −1 и 1);

  — обос­но­ва­ние в п. в того, что ра­вен­ства S = −1 и S = 1 не­воз­мож­ны.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 226
Классификатор алгебры: Числа и их свой­ства
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025