Ре­ше­ние. а)  Решим сна­ча­ла урав­не­ние По­лу­чим Такие корни за­пре­ще­ны для чис­ли­те­ля.

Те­перь решим урав­не­ние

По­это­му от­ве­ты такие  —

б)На ука­зан­ном от­рез­ке лежит

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Рас­смот­рим ребро куба, ле­жа­щее в грани SBC. Верх­няя грань куба па­рал­лель­на ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды, по­это­му пе­ре­се­ка­ет грань SBC по пря­мой, па­рал­лель­ной BC. Зна­чит, и ребро куба, со­еди­ня­ю­щее вер­ши­ны, при­над­ле­жа­щие гра­ням SAB (обо­зна­чим M) и SAC (обо­зна­чим N) па­рал­лель­на BC. Плос­кость же ASD пер­пен­ди­ку­ляр­на BC, так как пря­мая AD пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC и пря­мая SD пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC. Зна­чит, плос­кость ASD пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой MN, а вме­сте с ним (по при­зна­ку пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти плос­ко­стей) и плос­ко­сти SMN.

б)  Пусть вы­со­та пи­ра­ми­ды равна x. Тогда и пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна:

Тогда объем пи­ра­ми­ды равен:

Рас­смот­рим се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, со­дер­жа­щей верх­нюю грань куба. Это пра­виль­ный тре­уголь­ник, в ко­то­рый впи­сан квад­рат так, что одна сто­ро­на квад­ра­та лежит на сто­ро­не тре­уголь­ни­ка, а две дру­гие его вер­ши­ны лежат на дру­гих сто­ро­нах тре­уголь­ни­ка. Без огра­ни­че­ния общ­но­сти можно счи­тать, что ребро куба равно 1. Тогда сто­ро­на этого тре­уголь­ни­ка равна:

Те­перь можно за­ме­тить, что плос­кость, со­дер­жа­щая верх­нюю грань куба от­сек­ла от нашей пи­ра­ми­ды по­доб­ную пи­ра­ми­ду с вы­со­той За­пи­шем от­но­ше­ние по­до­бия:

Решая это урав­не­ние, по­лу­чим, что

Те­перь можно вы­чис­лить от­но­ше­ние объ­е­мов пи­ра­ми­ды и куба. Оно равно:

Ответ:

Ре­ше­ние. По­сколь­ку при верно не­ра­вен­ство (так как одно из сла­га­е­мых боль­ше еди­ни­цы), то не­ра­вен­ство сво­дит­ся к не­ра­вен­ству Тогда:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Опи­сан­ная окруж­ность тре­уголь­ни­ка ABC имеет точку D своим цен­тром, по­это­му E тоже лежит на этой окруж­но­сти. По усло­вию и тео­ре­ме о впи­сан­ном угле имеем что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  По­сколь­ку дуга CE яв­ля­ет­ся ча­стью дуги CA мень­шей то стя­ги­ва­ю­щая ее хорда мень­ше хорды Зна­чит, при этом дуга CE равна чет­вер­ти окруж­но­сти. Зна­чит, хорда длины стя­ги­ва­ет дугу от­ку­да и пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна

Ответ:

Ре­ше­ние. Про­цен­ты по кре­ди­ту со­ста­вят 120 000 в год (при­чем по ито­гам года сумма долга ме­нять­ся не будет), по­это­му он за­ко­пал 480 000 руб­лей. На остав­ши­е­ся 520 000 руб­лей он купил дол­ла­ров, а потом на по­ло­ви­ну этого купил:

Потом он про­дал все и вы­пла­тил кре­дит, в ре­зуль­та­те чего по­лу­чил:

Ответ: 10.

При­ме­ча­ние.

На самом деле доход был чуть мень­ше, по­сколь­ку дол­ла­ры нель­зя по­ку­пать в трид­цать тре­тьих долях. Но бит­кой­ны можно очень мелко дро­бить, по­это­му ошиб­ка при вы­чис­ле­ни­ях была не слиш­ком боль­шой (не 40 000 руб­лей), так что ре­зуль­тат округ­ле­ния имен­но таков.

Ре­ше­ние. Пусть Оче­вид­но по­это­му если новая си­сте­ма имеет ре­ше­ние, то и ста­рая тоже (и на­о­бо­рот). Тогда имеем си­сте­му

Вто­рое урав­не­ние дает:

То есть Во-пер­вых, это озна­ча­ет, что А во-вто­рых, вы­ра­жая u из пер­во­го урав­не­ния, на­хо­дим Если у этого урав­не­ния есть ко­рень, то есть и ре­ше­ние у си­сте­мы.

Функ­ция четна и стре­мит­ся к бес­ко­неч­но­сти при или при Оста­ет­ся лишь найти ее наи­мень­шее зна­че­ние на по­ло­жи­тель­ной по­лу­оси. Для этого при­рав­ня­ем к нулю ее про­из­вод­ную.

По­это­му не­обб­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Если это не так, то на любых двух со­сед­них ку­стах ко­ли­че­ства лан­ды­шей имеют раз­ную чет­ность, по­это­му на ку­стах, рас­ту­щих через один, на­о­бо­рот  — оди­на­ко­вую чет­ность. Зна­чит, на ку­стах чет­но­сти сов­па­да­ют. Но тогда можно взять пер­вый и де­вят­на­дца­тый кусты, они тоже со­сед­ние.

б)  Нет. На­при­мер если на каж­дом кусте по 1 цвет­ку, то найти такие два куста нель­зя.

Ответ: б) Нет.