Ре­ше­ние. а)  Пе­ре­пи­шем урав­не­ние в виде вве­дем за­ме­ну:

Зна­чит, то есть

б)  На ука­зан­ном от­рез­ке лежат

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  По­сколь­ку про­ек­ция D на плос­кость ABC лежит на AC, то про­ек­ция AD это Зна­чит, про­ек­ция M лежит на AC, то есть про­ек­ция CM это тоже По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах тогда по­сколь­ку

б)  По­сколь­ку (ме­ди­а­на рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка сов­па­да­ет с вы­со­той) и (по­сколь­ку ее про­ек­ция  — пря­мая AC), то по­это­му ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Обо­зна­чая по­лу­ча­ем

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Про­дол­жим бо­ко­вые сто­ро­ны о пе­ре­се­че­ния в точке T, а пря­мую AR  — до пе­ре­се­че­ния с пря­мой BC в точке N. Оче­вид­но BC  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка TAD. Обо­зна­чим далее RD  =  2x, BC  =  y, AP  =  z, тогда CD  =  3x, CR  =  x, TC  =  3x, AD  =  2y, PB  =  z, TB  =  2z. При­ме­ним тео­ре­му Ме­не­лая к тре­уголь­ни­ку ATR, по­лу­ча­ем

от­ку­да RQ : QA  =  1, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков CNR и ADR имеем

по­это­му вы­со­та тре­уголь­ни­ка AQP, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны Q,втрое мень­ше вы­со­ты тра­пе­ции. Зна­чит, пло­щадь тре­уголь­ни­ка AQD равна

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка APQ най­дем как раз­ность пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков APD и AQD. Точка P  — се­ре­ди­на BC, по­это­му вы­со­та тре­уголь­ни­ка APD вдвое мень­ше вы­со­ты тра­пе­ции. Зна­чит, пло­щадь тре­уголь­ни­ка APD равна

Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь тре­уголь­ни­ка APQ равна

Ответ:

Ре­ше­ние. В пер­вой об­ла­сти цена до­бы­чи обоих ме­тал­лов оди­на­ко­ва. Во вто­рой об­ла­сти можно до­быть не более лю­бо­го ме­тал­ла, по­сколь­ку нужно про­сто до­быть как можно боль­ше ме­тал­лов во вто­рой об­ла­сти, а воз­мож­ный дис­ба­ланс в них ис­пра­вить за счет пер­вой об­ла­сти. По­сколь­ку по­лу­ча­ем что при­чем это зна­че­ние до­сти­га­ет­ся при Итак, во вто­рой об­ла­сти до­бу­дут по 10 кг каж­до­го ме­тал­ла, в пер­вой по 20 кг и в итоге вы­пла­вят кг спла­ва.

Ответ: 60.

Ре­ше­ние. Вы­чтем из ниж­не­го урав­не­ния верх­нее и пре­об­ра­зу­ем. По­лу­чим

Обо­зна­чим и по­лу­чим

Выс­ним те­перь, при каких зна­че­ни­ях t можно по­до­брать такие x и y, чтобы вы­пол­ня­лось пер­вое урав­не­ние си­сте­мы. Имеем Под­ста­нов­ка в пер­вое урав­не­ние, до­мно­жен­ное на 4, дает

Его дис­кри­ми­нант равен по­это­му оно имеет корни при Будем рас­смат­ри­вать боль­шее зна­че­ние

Имеет смысл рас­смат­ри­вать толь­ко а при таких a обе части по­ло­жи­тель­ны и можно воз­ве­сти не­ра­вен­ство в квад­рат.

Итак, ответ

Ответ:

Ре­ше­ние. Чтобы число де­ли­лось на 15, оно долж­но де­лить­ся на 5 и на 3. Для де­ли­мо­сти на 5 оно долж­но кон­чать­ся на 5 (или на 0, но для па­лин­дро­мов это не­воз­мож­но). Для­де­ли­мо­сти на 3 его сумма цифр долж­на быть крат­на

а)  На­при­мер, 525.

б)  Пусть это число Тогда крат­но 3. Изу­чим остат­ки цифр a и b от де­ле­ния на 3.

Если то при­чем можно со­че­тать любые ва­ри­ан­ты.

Если то при­чем можно со­че­тать любые ва­ри­ан­ты.

Если то при­чем можно со­че­тать любые ва­ри­ан­ты.

Зна­чит, всего этих чисел

в)  Трех­знач­ные числа бы­ва­ют толь­ко такие  — Че­ты­рех­знач­ные  — толь­ко такие  — Зна­чит, всего Среди не более чем пя­изнач­ных чисел есть па­лин­дро­мов. Оста­лось от­счи­тать тре­тий с конца. Оче­вид­но это число вида по­это­му

Ответ: а) 525; б) 33; в) 59295.