Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д19 C7 № 521569
i

На­зо­вем на­ту­раль­ное число па­лин­дро­мом, если в его де­ся­тич­ной за­пи­си все цифры рас­по­ло­же­ны сим­мет­рич­но (сов­па­да­ет пер­вая и по­след­няя цифры, вто­рая и пред­по­след­няя, и т. д. На­при­мер, числа 121 и 123321 яв­ля­ют­ся па­лин­дро­ма­ми.

а)  При­ве­ди­те при­мер числа‐па­лин­дро­ма, ко­то­рое де­лит­ся на 15

б)  Сколь­ко су­ще­ству­ет пя­ти­знач­ных чисел‐па­лин­дро­мов, де­ля­щих­ся на 15?

в)  Най­ди­те 37‐е по ве­ли­чи­не число‐па­лин­дром, ко­то­рое де­лит­ся 15.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Чтобы число де­ли­лось на 15, оно долж­но де­лить­ся на 5 и на 3. Для де­ли­мо­сти на 5 оно долж­но кон­чать­ся на 5 (или на 0, но для па­лин­дро­мов это не­воз­мож­но). Для­де­ли­мо­сти на 3 его сумма цифр долж­на быть крат­на 3.

 

а)  На­при­мер, 525.

 

б)  Пусть это число \overline5aba5. Тогда 2a плюс b плюс 1 крат­но 3. Изу­чим остат­ки цифр a и b от де­ле­ния на 3.

 

Если a=0;3;6;9, то b=2,5,8, при­чем можно со­че­тать любые ва­ри­ан­ты.

 

Если a=1;4;7, то b=0;3;6;9, при­чем можно со­че­тать любые ва­ри­ан­ты.

 

Если a=2;5;8, то b=1;4;7, при­чем можно со­че­тать любые ва­ри­ан­ты.

 

 

Зна­чит, всего этих чисел 4 умно­жить на 3 плюс 3 умно­жить на 4 плюс 3 умно­жить на 3=33.

 

в)  Трех­знач­ные числа бы­ва­ют толь­ко такие  — 525,555,585. Че­ты­рех­знач­ные  — толь­ко такие  — 5115,5445,5775. Зна­чит, всего Среди не более чем пя­изнач­ных чисел есть 39 па­лин­дро­мов. Оста­лось от­счи­тать тре­тий с конца. Оче­вид­но это число вида \overline59b95, по­это­му 59295.

 

Ответ: а) 525; б) 33; в) 59295.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Верно по­лу­че­ны все пе­ре­чис­лен­ные (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­ты.4
Верно по­лу­че­ны три из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов.3
Верно по­лу­че­ны два из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов.2
Верно по­лу­чен один из сле­ду­ю­щих ре­зуль­та­тов:

  — при­мер в п. а;

  — обос­но­ван­ное ре­ше­ние п. б;

  — обос­но­ва­ние в п. в того, что S может при­ни­мать все целые зна­че­ния (от­лич­ные от −1 и 1);

  — обос­но­ва­ние в п. в того, что ра­вен­ства S = −1 и S = 1 не­воз­мож­ны.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 221
Классификатор алгебры: Числа и их свой­ства
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025