PDF-версии: 
Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Применим формулу разности косинусов:
б) Длина отрезка 
равна 
поэтому из серии с периодом 
на нем могут лежать не более трех корней, а из серий с периодом 2π — не более одного корня. Из серии 
подходят корни 
и π. Из серии 
подходит корень 
В серии 
нет корней, лежащих на заданном отрезке, поскольку при k = 0 член серии меньше левой границы отрезка, а при k = 1 больше правой границы. Таким образом, в заданном отрезке лежат корни 
π.
Ответ: а) 
б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б) 
Осталось найти высоту. 
(хорда, равная радиусу, стягивает дугу в 
). Тогда 
и 
и сразу отметим, что 
и 
иначе 
или 
будет неопределено. При 
последнее выражение равно 
и неравенство обратилось в равенство 
При прочих t из промежутка 
это выражение положительно и на него можно поделить. 
треугольники подобны по двум углам (угол C у них общий).
откуда 
Поскольку 
прямая AC является касательной к окружности.
долларов и y акций по 
долларов. Тогда 
Значит, 
Значит, y кратно 
Пусть 
тогда 
причем 
Переберем возможные варианты z от 
до 
проверяя каждый раз, делится ли 
на 
Единственный подходящий вариант таков — 
тогда 
газовых акций и 
нефтяных, из которых 
были проданы. Значит, газовые составляли 
и принесли доход 
долларов.
долларов.
то первое уравнение не может выполняться. Если 
то из первого уравнения получаем, что 
Тогда вопрос сводится к изучению числа неотрицательных корней уравнения 
Его дискриминант равен 
поэтому необходимо 
Тогда есть два корня, а для того, чтобы они оба были положительны, нужно, чтобы положительными были их сумма и произведение. То есть 
и 
то есть 
Наконец, есть вариант, когда один из корней равен нулю. Для этого 
должно быть равно нулю, то есть 
(при 
второй корень отрицателен).
Упакуем в один пакет яблоки с весами ak и 
Докажем, что веса пакетов отличаются не более, чем в полтора раза. Пусть веса в пакетах 
и 
причем 
тогда 
и 
и 
Теперь упакуем эти пакеты по два так же, как паковали яблоки в предыдущем пункте. В итоге яблоки упакуются как раз по четыре.