Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 521549
i

Дано урав­не­ние ко­си­нус 3x= ко­рень из 3 синус 4x плюс ко­си­нус 5x.

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; Пи } пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  При­ме­ним фор­му­лу раз­но­сти ко­си­ну­сов:

ко­си­нус 3x минус ко­си­нус 5x= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус 4x рав­но­силь­но 2 синус x синус 4x= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус 4x рав­но­силь­но

рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус 4x=0, синус x= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 4x= Пи k,x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i4 k,x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

б)  Длина от­рез­ка левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; Пи } пра­вая квад­рат­ная скоб­ка равна дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i2, по­это­му из серии с пе­ри­о­дом дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i4 на нем могут ле­жать не более трех кор­ней, а из серий с пе­ри­о­дом 2π   — не более од­но­го корня. Из серии дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i4k под­хо­дят корни дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби и π. Из серии дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k под­хо­дит ко­рень дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . В серии дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k нет кор­ней, ле­жа­щих на за­дан­ном от­рез­ке, по­сколь­ку при k  =  0 член серии мень­ше левой гра­ни­цы от­рез­ка, а при k  =  1 боль­ше пра­вой гра­ни­цы. Таким об­ра­зом, в за­дан­ном от­рез­ке лежат корни дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , π.

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни k дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , Пи .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 219
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
Методы алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы суммы и раз­но­сти функ­ций
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025