Ре­ше­ние. а)  Пусть Тогда

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной: от­ку­да

б)  На ука­зан­ном от­рез­ке лежит

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть H  — ос­но­ва­ние вы­со­ты тре­уголь­ни­ка ABC, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны Вве­дем ко­ор­ди­на­ты с на­ча­лом в точке H и с осями x, y, z, на­прав­лен­ны­ми вдоль пря­мых HC, HA, HS, со­от­вет­ствен­но (по­сколь­ку SB  =  SC, а вы­со­та пи­ра­ми­ды лежит в плос­ко­сти SBC, она сов­па­да­ет с HC). Тогда ко­ор­ди­на­ты точек будут (по­сколь­ку Тогда

Ре­ше­ние. Пусть тогда

Вто­рая дробь со­кра­ти­ма на После со­кра­ще­ния и при­ве­де­ния к об­ще­му зна­ме­на­те­лю имеем:

Ре­ше­ние. а)  Про­ве­дем вы­со­ту DH в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке Оче­вид­но центр лежит на ней, при этом по­это­му сле­до­ва­тель­но, CD  — ка­са­тель­ная.

б)  По усло­вию, тра­пе­ция BKAD  — впи­сан­ная, по­это­му рав­но­бед­рен­ная. Тогда

В тре­уголь­ни­ке ABD имеем по­это­му

В тре­уголь­ни­ке CAD имеем по тео­ре­ме ко­си­ну­сов на­хо­дим

Итак, Это и есть ответ.

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Сумма вы­плат со­ста­вит

Зна­чит, от­ку­да ми­ни­маль­ное S это

Ответ: 8.

Ре­ше­ние. 18) Пе­ре­пи­шем вто­рое урав­не­ние си­сте­мы в виде Под­став­ляя имеем

Воз­мож­ны сле­ду­ю­щие си­ту­а­ции, по­тен­ци­аль­но да­ю­щие ровно два корня (зная x мы од­но­нач­но вос­ста­но­вим y).

1)   (в пер­вой скоб­ке не квад­рат­ный трех­член от x). под­хо­дит.

2)   (у вто­рой скоб­ки нет кор­ней). имеет два корня, под­хо­дит.

3)   (у ско­бок по од­но­му корню). Они под­хо­дят (см. слу­чай 4).

4)   один из кор­ней пер­вой скоб­ки равен (сов­па­да­ет с кор­нем вто­рой). Тогда

Имеем: По­сколь­ку эти a не сов­па­да­ют с по­лу­чен­ны­ми в пунк­те то при них (и при тех, ко­то­рые по­лу­че­ны в пунк­те 3) дей­стви­тель­но по два корня.

Ответ:

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим цифры этого числа за a и b, тогда оно равно

а)  По­сколь­ку то Все такие числа  —

б)  Оче­вид­но по­это­му част­ное все­гда от до По­сколь­ку при число имеет сумму цифр все эти ва­ри­ан­ты дей­стви­тель­но воз­мож­ны.

в)   Это зна­че­ние до­сти­га­ет­ся для числа

Ответ: а) 21, 42, 63, 84; б) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10; 1,9 для числа 19.