Ре­ше­ние. а)  Решим урав­не­ние

б)  При по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку По­лу­чим един­ствен­ный ко­рень

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть O  — центр ос­но­ва­ния ко­ну­са, K  — точка пе­ре­се­че­ния AB и Тогда:

по­это­му

б)  Те­перь найдём сумму объ­е­мов пи­ра­мид САРВ и DАРВ:

Ответ:

Ре­ше­ние. Зна­ме­на­тель не ока­зы­ва­ет вли­я­ния на знак, важно лишь, чтобы он был опре­де­лен и не равен нулю. По­это­му (пер­вое огра­ни­че­ние из-за в чис­ли­те­ле). Ра­ци­о­на­ли­зи­ру­ем чис­ли­тель:

Учи­ты­вая ОДЗ, по­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  По­сколь­ку про­хо­дит через точку B, до­ста­точ­но до­ка­зать, что пря­мая пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой Пусть сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка равны Тогда:

По­это­му:

Для дру­гой окруж­но­сти ответ будет таким же, но там этот угол на­хо­дит­ся сна­ру­жи пря­мо­уголь­ни­ка. По­это­му:

что и тре­бо­ва­лось. Утвер­жде­ние про вто­рую окруж­ность, оче­вид­но, тре­бу­ет той же самой пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти, по­это­му тоже до­ка­за­но.

б)  Те­перь найдём длину от­рез­ка

В нашем слу­чае по­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние. До­пу­стим во вто­рой банк вло­же­но x мил­ли­ар­дов, тогда в пер­вый мил­ли­ар­дов. По усло­вию:

Ответ: в банк A вло­жи­ли мил­ли­ар­дов, в банк B  — мил­ли­ар­дов.

Ре­ше­ние. Пер­вый мно­жи­тель имеет корни 0 и 4, они будут и кор­ня­ми урав­не­ния, если под­хо­дят в ОДЗ ло­га­риф­ма. Вто­рой мно­жи­тель можно за­пи­сать как Он опре­де­лен при всех и равен нулю, когда они будут и кор­ня­ми урав­не­ния, если под­хо­дят в ОДЗ корня

Сразу раз­бе­рем слу­чаи (корни вто­ро­го мно­жи­те­ля толь­ко один из них под­хо­дит, итого есть два корня) и (корни вто­ро­го мно­жи­те­ля 3 и 5, толь­ко один из них под­хо­дит, итого есть два корня). Боль­ше про ОДЗ ло­га­риф­ма можно не ду­мать.

Далее раз­бе­рем слу­чаи, когда или

В дру­гих си­ту­а­ция сов­па­де­ния кор­ней не про­ис­хо­дит. Зна­чит, из чисел ровно одно по­па­да­ет в про­ме­жу­ток Это бы­ва­ет при ( и уже разо­бра­ны и от­ве­та­ми не яв­ля­ют­ся).

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  По­сколь­ку разо­бьем все эти тан­ген­сы, кроме на пары, да­ю­щие в про­из­ве­де­нии Зна­чит, и все про­из­ве­де­ние равно

б)  Имеем:

Тре­бу­е­мое ра­вен­ство можно пе­ре­пи­сать в виде:

Это то же самое.

в)  Имеем:

Если про­де­лать это со всеми мно­жи­те­ля­ми, в про­из­ве­де­нии по­лу­чит­ся а еще в чис­ли­те­ле и зна­ме­на­те­ле будет про­из­ве­де­ние всех ко­си­ну­сов углов от до толь­ко в раз­ном по­ряд­ке. Они со­кра­тят­ся и оста­нет­ся

Ответ: а) 1; б)